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Dubbi sull'uso degli sviluppi di Taylor....

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}$

Grazie a tutti per la disponibilità.

eneasuppemogi ha scritto:Dubbi sull'uso degli sviluppi di Taylor....

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}$

Grazie a tutti per la disponibilità.

che dubbio??

Semplicemente, applicando Taylor non capisco dove sbaglio visto che non arrivo al risultato.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}$

ricordando che :

$\displaystyle \ln (1+x)= x - {x^2\over 2}+{x^3 \over 3} - {x^4 \over 4} +o(x^4)$

$\displaystyle \sin x = x -{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)$

$\displaystyle \sinh x = x +{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} +o(x^5)$

si ha:

$\displaystyle \log(1+\sin x^3) =$ $\displaystyle \sin x^3 - {(\sin x^3)^2\over 2}+{(\sin x^3)^3 \over 3} +o(\sin x^3) =$ $\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} - {(x^3 -{x^9\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) =$ $\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)$

$\displaystyle \log(1+\sinh x^3) =$ $\displaystyle \sinh x^3 - {(\sinh x^3)^2\over 2}+{(\sinh x^3)^3 \over 3} +o(\sinh x^3) =$ $\displaystyle x^3+{x^9\over 3!}- {(x +{x^3\over 3!})^2\over 2} +o(x^9) =$ $\displaystyle x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)$

da cui:

$\displaystyle \log(1+\sin x^3)-\displaystyle \log(1+\sinh x^3) =$ $\displaystyle x^3 -{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 -\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9) -$ $\displaystyle \left(x^3 +{x^9\over 3!} -\frac{1}{2} \left(x^6 +\frac{1}{6}x^{12}\right)} +o(x^9)\right)$ $= \displaystyle-\frac{x^9}{3}$

Allora

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x^3) - \log(1+\sinh x^3)}{x^9}=\lim_{x\to 0}\frac{ -\frac{x^9}{3}}{x^9}= -\frac{1}{3}$

Occhio! Il risultato è giusto, ma i due sviluppi chiave, cioè quello di $\log(1+\sin x^3)$ ed il corrispondente con il sinh, contengono entrambi due errori importanti. Chi corregge?

non hai svolto correttamente il quadrato nei due sviluppi,manca un termine ..almeno credo sia quello l'errore

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