Applicazione della formula di Gauss-Green

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Giacomo Falcone
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Applicazione della formula di Gauss-Green

#1 Messaggioda Giacomo Falcone » mercoledì 12 febbraio 2014, 12:17

Ciao a tutti! Nello svolgere i vecchi testi d'esame ho riscontrato qualche difficoltà quando si trattava di calcolare l'integrale di una funzione su un dominio racchiuso da una curva data in forma parametrica! Per capirci meglio riporto un esercizio:

Sia D il dominio di R^2 racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva gamma data da (x(t), y(t))=(t+t^3, t+t^2) con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy

Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva gamma; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva gamma ??

Grazie a tutti in anticipo :D
P.s. Non so ancora scrivere bene con il LaTex quindi mi scuso in anticipo se non sono riuscito ad essere chiarissimo! :mrgreen:

ghisi
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#2 Messaggioda ghisi » mercoledì 12 febbraio 2014, 18:42

Giacomo Falcone ha scritto:Sia D il dominio di R^2 racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva \gamma data da (x(t), y(t))=(t+t^3, t+t^2) con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy

Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva gamma; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva \gamma ??


Se vuoi applicare Gauss-Green ti serve un campo vettoriale E (in questo caso fatto da due funzioni, quindi F=(F_1,F_2)) la cui divergenza sia x.
Ovviamente puoi fare varie scelte, le piu' semplici sono prendere una componente zero. Ad esempio se F_1 = 0 vuol dire che F_{2,y} = x quindi F_2 = xy. Poi Gauss-Green ti dice che

\int_D div E = \int_{\delta^+D} (E,\nu) ds

D'altra parte se il bordo è una curva \gamma orientata positivamente allora le componenti della normale (non normalizzate) sono (y^\prime,-x^\prime).
Se vai a sostituire il tutto ottieni la formula classica

\int_{\delta^+D} F_1 dy - F_2 dx

Occhio che nel tuo caso il bordo di D è fatto da vari pezzi che devi orientare nel modo giusto!

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Massimo Gobbino
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 13 febbraio 2014, 11:28

E io, già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...

Giacomo Falcone
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#4 Messaggioda Giacomo Falcone » giovedì 13 febbraio 2014, 13:22

Grazie mille per la spiegazione!

Filippo.ingrasciotta
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#5 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » giovedì 27 marzo 2014, 18:01

Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio \Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#6 Messaggioda ghisi » giovedì 27 marzo 2014, 20:44

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio \Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione


Innanzitutto una precisazione: quello che tu hai indicato con \Omega in realtà è il bordo di \Omega cioè \partial \Omega.
L'area di un dominio \Omega è l'integrale su \Omega della funzione costante 1.

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#7 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » venerdì 28 marzo 2014, 9:54

ghisi ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio \Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione


Innanzitutto una precisazione: quello che tu hai indicato con \Omega in realtà è il bordo di \Omega cioè \partial \Omega.
L'area di un dominio \Omega è l'integrale su \Omega della funzione costante 1.


Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa \int E* v ds solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#8 Messaggioda ghisi » venerdì 28 marzo 2014, 12:51

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa \int E* v ds solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.


Ma perchè non usi le formule per l'area? O le formule con Gauss-Green utilizzando le forme differenziali (che ci sono in uno dei post precedenti)?

In ogni caso E è una qualsiasi funzione vettoriale la cui divergenza è 1. NON e' possibile scrivere il bordo in un'unico pezzo: devi spezzare l'integrale in piu' parti e calcolarlo sui singoli pezzi di bordo.

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#9 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » venerdì 28 marzo 2014, 16:47

ghisi ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa \int E* v ds solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.


Ma perchè non usi le formule per l'area? O le formule con Gauss-Green utilizzando le forme differenziali (che ci sono in uno dei post precedenti)?

In ogni caso E è una qualsiasi funzione vettoriale la cui divergenza è 1. NON e' possibile scrivere il bordo in un'unico pezzo: devi spezzare l'integrale in piu' parti e calcolarlo sui singoli pezzi di bordo.


Mi scuso per la mia testardaggine ma non ho ancora ben capito su come procedere....se non è chiedere troppo, potrebbe svolgere l'esercizio che ho postato inizialmente così che magari guardando i passaggi riesco a capire meglio dove sbaglio? La ringrazio anticipatamente :D

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#10 Messaggioda ghisi » domenica 30 marzo 2014, 19:20

Il bordo di \Omega è formato dalla curva \gamma =(t^2 ,t^3 +t), \;  0\leq t \leq 1 (che è orientata negativamente) dalla curva \gamma_1 = (t,0), \; 0\leq t \leq 1 (che così parametrizzata è orientata positivamente) e dalla curva \gamma_2 = (1,t), \; 0\leq t \leq 2 (che così parametrizzata è orientata positivamente).

L'area di \Omega si può scrivere quindi ad esempio come

-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx  -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#11 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » domenica 30 marzo 2014, 20:24

ghisi ha scritto:Il bordo di \Omega è formato dalla curva \gamma =(t^2 ,t^3 +t), \;  0\leq t \leq 1 (che è orientata negativamente) dalla curva \gamma_1 = (t,0), \; 0\leq t \leq 1 (che così parametrizzata è orientata positivamente) e dalla curva \gamma_2 = (1,t), \; 0\leq t \leq 2 (che così parametrizzata è orientata positivamente).

L'area di \Omega si può scrivere quindi ad esempio come

-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx  -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx

Grazie mille!

Filippo.ingrasciotta
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#12 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » mercoledì 30 aprile 2014, 11:35

Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green :?

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione \phi = y

Bordo del dominio {(cost, sent) t \in [0, \pi]}  \cup {y=0}

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#13 Messaggioda ghisi » mercoledì 30 aprile 2014, 11:58

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green :?

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione \phi = y

Bordo del dominio {(cost, sent) t \in [0, \pi]}  \cup {y=0}

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori


Il campo lo devi trovare tu: nel caso specifico basta un qualunque campo la cui divergenza faccia y. Hai quindi moltissima libertà, quale scegliere dipende da varie cose (ad esempio da cosa risulterà più facile integrare). Puoi prendere ad esempio (xy,0), ma anche (0, y^2/2)....

Filippo.ingrasciotta
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#14 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » mercoledì 30 aprile 2014, 15:02

ghisi ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green :?

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione \phi = y

Bordo del dominio {(cost, sent) t \in [0, \pi]}  \cup {y=0}

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori


Il campo lo devi trovare tu: nel caso specifico basta un qualunque campo la cui divergenza faccia y. Hai quindi moltissima libertà, quale scegliere dipende da varie cose (ad esempio da cosa risulterà più facile integrare). Puoi prendere ad esempio (xy,0), ma anche (0, y^2/2)....


Continuo a non sapere andare avanti, mi sto bloccando davanti a una banalità credo, però non so come iniziare, potrebbe per piacere farmi vedere come si fa l'esercizio in modo che lo possa prendere a modello e capire per fare quelli dopo? :D

La ringrazio in anticipo..

ghisi
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#15 Messaggioda ghisi » giovedì 1 maggio 2014, 9:37

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Continuo a non sapere andare avanti, mi sto bloccando davanti a una banalità credo, però non so come iniziare, potrebbe per piacere farmi vedere come si fa l'esercizio in modo che lo possa prendere a modello e capire per fare quelli dopo? :D

La ringrazio in anticipo..


Perchè non cominci a calcolare l'area del dominio (così ti rendi conto di come procedere)?
Consulta poi anche i post all'inizio di questa discussione (non e' che ci sia una grande differenza...)


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