Applicazione della formula di Gauss-Green

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Gabe
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#16 Messaggioda Gabe » sabato 7 giugno 2014, 17:56

Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y

Ho scelto come vettore E=(xy,1), quindi mi sono riportato a: \int_{\partial D} A\, dy + B\, dx.

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: \gamma_{1}(t)=(t,0) con t \in [0,1] \gamma_{2}(t)=(cos t, sin t) con t \in [0, \pi/2] e \gamma_{3}(t)=(0, t) con t \in [0,1]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: \int_{0}^{1}0\, - 0\, dt, nel primo integrale ho preso A=t*0=0, dy=0 e B=0, dx=0.

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#17 Messaggioda GIMUSI » sabato 7 giugno 2014, 22:23

Gabe ha scritto:Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y

Ho scelto come vettore E=(xy,1), quindi mi sono riportato a: \int_{\partial D} A\, dy + B\, dx.

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: \gamma_{1}(t)=(t,0) con t \in [0,1] \gamma_{2}(t)=(cos t, sin t) con t \in [0, \pi/2] e \gamma_{3}(t)=(0, t) con t \in [0,1]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: \int_{0}^{1}0\, - 0\, dt, nel primo integrale ho preso A=t*0=0, dy=0 e B=0, dx=0.

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?


ci sono alcune cose che non tornano...davanti alla B nell'integrale della forma differenziale ci dovrebbe essere un segno meno...inoltre la suddivisione in tre tratti del bordo sembra non corrispondere con la descrizione iniziale

allego un svolgimento basato sui dati seguenti:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y
Allegati
140607 - integrali superficiali 05.pdf
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#18 Messaggioda Gabe » domenica 8 giugno 2014, 15:40

Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto E=(xy, 1), avrei avuto: \int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t)  dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1 dt = 2/3-4, ti torna?

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#19 Messaggioda GIMUSI » domenica 8 giugno 2014, 21:14

Gabe ha scritto:Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto E=(xy, 1), avrei avuto: \int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t)  dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1 dt = 2/3-4, ti torna?


ricontrolla dovrebbe venire:

2/3+2-2=2/3
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#20 Messaggioda Gabe » lunedì 9 giugno 2014, 11:40

hai ragione :D

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#21 Messaggioda Gabe » giovedì 12 giugno 2014, 20:42

Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni \phi sui domini \Omega, i domini \Omega vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) \Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup \{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2

2) \Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup \{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y

Ho provato a scrivere \phi come vettore \overline {E}=(A, B, C), per poi fare \iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv,

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione

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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#22 Messaggioda GIMUSI » sabato 14 giugno 2014, 11:03

Gabe ha scritto:Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni \phi sui domini \Omega, i domini \Omega vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) \Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup \{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2

2) \Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup \{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y

Ho provato a scrivere \phi come vettore \overline {E}=(A, B, C), per poi fare \iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv,

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione


allego un possibile svolgimento dei due esercizi...mi pare che l'applicazione di Gauss-Green conduca ad integrali del tutto equivalenti a quelli ottenibili per calcolo diretto sul dominio :)
Allegati
140614 - formula di GG 02.pdf
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140614 - formula di GG 01.pdf
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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

#23 Messaggioda Gabe » sabato 14 giugno 2014, 12:54

Grazie mille! Ho capito dove sbagliavo!


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