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Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: sabato 7 giugno 2014, 17:56
da Gabe
Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y

Ho scelto come vettore E=(xy,1), quindi mi sono riportato a: \int_{\partial D} A\, dy + B\, dx.

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: \gamma_{1}(t)=(t,0) con t \in [0,1] \gamma_{2}(t)=(cos t, sin t) con t \in [0, \pi/2] e \gamma_{3}(t)=(0, t) con t \in [0,1]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: \int_{0}^{1}0\, - 0\, dt, nel primo integrale ho preso A=t*0=0, dy=0 e B=0, dx=0.

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: sabato 7 giugno 2014, 22:23
da GIMUSI
Gabe ha scritto:Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y

Ho scelto come vettore E=(xy,1), quindi mi sono riportato a: \int_{\partial D} A\, dy + B\, dx.

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: \gamma_{1}(t)=(t,0) con t \in [0,1] \gamma_{2}(t)=(cos t, sin t) con t \in [0, \pi/2] e \gamma_{3}(t)=(0, t) con t \in [0,1]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: \int_{0}^{1}0\, - 0\, dt, nel primo integrale ho preso A=t*0=0, dy=0 e B=0, dx=0.

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?


ci sono alcune cose che non tornano...davanti alla B nell'integrale della forma differenziale ci dovrebbe essere un segno meno...inoltre la suddivisione in tre tratti del bordo sembra non corrispondere con la descrizione iniziale

allego un svolgimento basato sui dati seguenti:

Bordo: y=0 e \gamma(t)=(cos t, sin t) con t \in [0,\pi] e Funzione: \phi=y

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: domenica 8 giugno 2014, 15:40
da Gabe
Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto E=(xy, 1), avrei avuto: \int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t)  dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1 dt = 2/3-4, ti torna?

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: domenica 8 giugno 2014, 21:14
da GIMUSI
Gabe ha scritto:Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto E=(xy, 1), avrei avuto: \int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t)  dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1 dt = 2/3-4, ti torna?


ricontrolla dovrebbe venire:

2/3+2-2=2/3

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: lunedì 9 giugno 2014, 11:40
da Gabe
hai ragione :D

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: giovedì 12 giugno 2014, 20:42
da Gabe
Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni \phi sui domini \Omega, i domini \Omega vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) \Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup \{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2

2) \Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup \{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y

Ho provato a scrivere \phi come vettore \overline {E}=(A, B, C), per poi fare \iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv,

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: sabato 14 giugno 2014, 11:03
da GIMUSI
Gabe ha scritto:Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni \phi sui domini \Omega, i domini \Omega vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) \Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup \{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2

2) \Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup \{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y

Ho provato a scrivere \phi come vettore \overline {E}=(A, B, C), per poi fare \iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv,

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione


allego un possibile svolgimento dei due esercizi...mi pare che l'applicazione di Gauss-Green conduca ad integrali del tutto equivalenti a quelli ottenibili per calcolo diretto sul dominio :)

Re: Applicazione della formula di Gauss-Green

Inviato: sabato 14 giugno 2014, 12:54
da Gabe
Grazie mille! Ho capito dove sbagliavo!