Scritto d'esame 2012

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Scritto d'esame 2012

#1 Messaggioda Nome_utente » venerdì 14 febbraio 2014, 12:25

La curva è:
(x(t),y(t))=[(sin(y))^3,(cos(y))^3]
0<=t<=2\pi
Viene chiesto di scrivere la retta tangente alla curva per t=\pi/4 sia in forma parametrica sia in forma cartesiana (implicita).
Applicando le formule ho trovato x=y e [(sqrt2+(3tsqrt2)/4),(sqrt2-(3tsqrt2)/4]. Fin qui chiedo conferma giusto per sicurezza.
Poi viene chiesta la lunghezza della curva e qui risolvendo l'integrale della formula ottengo 0, il che mi sembra strano all'inizio. Poi mi sono accorto che la curva negli estremi dati (gli stessi dell'integrale) è chiusa, questo ha dato un senso al risultato trovato. Quindi mi viene da chiedermi se la lunghezza della curva sia 2\pi o meno e di come faccio a dimostrarlo.
Infine viene chiesto di calcolare l'integrale seguente sul dominio D che è il dominio racchiuso dalla curva iniziale:
\[
\int x\,dxdy
\]
Anche qui trovo che il risultato è 0, è corretto?

ghisi
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Re: Scritto d'esame 2012

#2 Messaggioda ghisi » venerdì 14 febbraio 2014, 13:42

Nome_utente ha scritto:La curva è:
(x(t),y(t))=[(\sin(y))^3,(\cos(y))^3]
0<=t<=2\pi
Viene chiesto di scrivere la retta tangente alla curva per t=\pi/4 sia in forma parametrica sia in forma cartesiana (implicita).
Applicando le formule ho trovato x=y e [(\sqrt2+(3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-(3t\sqrt2)/4]. Fin qui chiedo conferma giusto per sicurezza.

Dovrebbe essere [(\sqrt2+3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-3t\sqrt2)/4]. La cosa strana è che le rette in forma parametrica e cartesiana sono diverse. Controlla!
Nome_utente ha scritto: Poi viene chiesta la lunghezza della curva e qui risolvendo l'integrale della formula ottengo 0, il che mi sembra strano all'inizio. Poi mi sono accorto che la curva negli estremi dati (gli stessi dell'integrale) è chiusa, questo ha dato un senso al risultato trovato. Quindi mi viene da chiedermi se la lunghezza della curva sia 2\pi o meno e di come faccio a dimostrarlo.

Una lunghezza zero è sempre assurda. L'errore nella risoluzione è uno dei soliti da precorso, del tipo \sqrt{x^2} = x

Nome_utente ha scritto:Infine viene chiesto di calcolare l'integrale seguente sul dominio D che è il dominio racchiuso dalla curva iniziale:
\[
\int x\,dxdy
\]
Anche qui trovo che il risultato è 0, è corretto?


Questo si

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Re: Scritto d'esame 2012

#3 Messaggioda Nome_utente » venerdì 14 febbraio 2014, 17:57

Dovrebbe essere [(\sqrt2+3t\sqrt2)/4),(\sqrt2-3t\sqrt2)/4]. La cosa strana è che le rette in forma parametrica e cartesiana sono diverse. Controlla!

Ho ricontrollato e avevo fatto banali errori di calcolo... Ora torna tutto

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Re: Scritto d'esame 2012

#4 Messaggioda Nome_utente » venerdì 14 febbraio 2014, 18:20

Una lunghezza zero è sempre assurda. L'errore nella risoluzione è uno dei soliti da precorso, del tipo \sqrt{x^2} = x


L'errore era proprio quello... aprendo il valore assoluto il dominio si divide in 4 pezzi, 2 dove la funzione è positiva (segni concordi) e due dove è negativa (segni discordi), ognuno dei quali viene 3/2. Alla fine quindi la lunghezza della curva è 6

ghisi
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Re: Scritto d'esame 2012

#5 Messaggioda ghisi » venerdì 14 febbraio 2014, 20:12

Nome_utente ha scritto:Alla fine quindi la lunghezza della curva è 6


si.


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