integrali superficiali

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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matt_93
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integrali superficiali

#1 Messaggioda matt_93 » martedì 27 maggio 2014, 17:51

Non mi torna questo esercizio:
-campo (y^{3}, z-x, x^{2})
-superficie S z=x^{2}+y^{2}, x^{2} +y^{2} <=1
Calcolare il flusso attraverso la superficie, ipotizzando come orientazione la normale uscente.

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Re: integrali superficiali

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 27 maggio 2014, 23:11

allego lo svolgimento nei due modi che ricalcano quanto fatto nelle lezioni 49 e 50 :)
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Re: integrali superficiali

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 28 maggio 2014, 9:08

Si può fare anche con Stokes?

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Re: integrali superficiali

#4 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 28 maggio 2014, 10:35

Massimo Gobbino ha scritto:Si può fare anche con Stokes?


si perché il campo ha divergenza nulla e l'insieme di definizione è stellato (lez. 46) e quindi si può scrivere come rotore di qualcosa, ad esempio:

A = z^2/2-zx

B=x^3/3

C=y^4/4

a questo punto per stokes il flusso risulta uguale alla circuitazione lungo il bordo (circonferenza a z=1 di raggio unitario, percorsa in senso orario)

e la circuitazione diventa l'integrale della forma differenziale Adx+Bdy+Cdz lungo il bordo (lez. 52) :mrgreen:
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Re: integrali superficiali

#5 Messaggioda GIMUSI » giovedì 29 maggio 2014, 22:20

allego lo svolgimento dell'esercizio nel quale ho aggiunto anche il "modo 3" con stokes
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Re: integrali superficiali

#6 Messaggioda AntiLover » lunedì 2 giugno 2014, 18:46

Scusate, qualcuno ha risolto numero 10 della scheda? Non riesco a scrivere omega e phi(u,v) :? :? :? :? :?

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Re: integrali superficiali

#7 Messaggioda GIMUSI » lunedì 2 giugno 2014, 23:24

AntiLover ha scritto:Scusate, qualcuno ha risolto numero 10 della scheda? Non riesco a scrivere omega e phi(u,v) :? :? :? :? :?


se posti il testo posso darci un'occhiata :)
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Re: integrali superficiali

#8 Messaggioda AntiLover » martedì 3 giugno 2014, 9:32

il campo è (x^2+y,x-z,0) mentre la superficie S= {x^2+y^2=1, 0<=z<=1}. gentilissimo come sempre! Grazie :)

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Re: integrali superficiali

#9 Messaggioda GIMUSI » martedì 3 giugno 2014, 11:24

AntiLover ha scritto:il campo è (x^2+y,x-z,0) mentre la superficie S= {x^2+y^2=1, 0<=z<=1}. gentilissimo come sempre! Grazie :)


allego lo svolgimento con i due metodi

- calcolo diretto in coordinate cilindriche

- mediante la divergenza (teorema di GG)

in entrambi i casi si vede facilmente che il flusso è nullo :)
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Re: integrali superficiali

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 3 giugno 2014, 12:09

GIMUSI ha scritto:in entrambi i casi si vede facilmente che il flusso è nullo :)


Con il teorema della divergenza si vede in effetti anche a mente. La divergenza è 2x, che integrata sul cilindro viene 0 per simmetria. Quindi il flusso uscente da tutto il cilindro è 0. Il flusso uscente (o anche entrante) dalle basi è 0 perché la normale è (0,0,\pm 1), e quindi ha prodotto scalare nullo con il campo che ha terza componente nulla. Quindi anche il flusso uscente (o entrante) dalla superficie laterale deve essere nullo.

Sicuramente questa sarà la seconda soluzione di GIMUSI. Per quanto riguarda la parametrizzazione di un cilindro, è fatta esplicitamente in una delle lezioni sugli integrali superficiali ...

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Re: integrali superficiali

#11 Messaggioda Gabe » domenica 8 giugno 2014, 20:48

Avrei una domanda, mi capita a volte di avere delle espressioni di M1 M2 M3 "hard", tipo con radici etc... allora provo ad applicare GG in 3 dimensioni, però mi succede che non sempre riesco ad individuare bene la figura e quindi non posso vedere se ha eventuali "parti mancanti" (tipo l'esercizio della pentola con il coperchio),faccio un esempio:
se mi capita una supericie così definita S={z-y^2=1, x^2+y^2=1}, prendo come base la circonferenza di raggio 1 solo che poi non riesco a sviluppare la figura in "altezza" e quindi non mi rendo conto se e una superficie "incompleta", c'è qualche trucco per vederla al volo?

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Re: integrali superficiali

#12 Messaggioda Gabe » giovedì 12 giugno 2014, 11:42

Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

1) E=(0,xy,xz), [S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1]

2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1]

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Re: integrali superficiali

#13 Messaggioda GIMUSI » venerdì 13 giugno 2014, 8:46

Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

1) E=(0,xy,xz), [S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1]

2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1]


in questi casi credo sia conveniente il calcolo diretto del flusso

allego un possibile svolgimento dei due esercizi :)

[EDIT] su segnalazione di Filippo.ingrasciotta ho corretto lo svolgimento del primo esercizio
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Re: integrali superficiali

#14 Messaggioda Gabe » sabato 14 giugno 2014, 12:56

Anche qui ho capito l'errore che commettevo! Grazie ancora!

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Re: integrali superficiali

#15 Messaggioda ghisi » domenica 15 giugno 2014, 12:35

GIMUSI ha scritto:
Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi: Calcolare il Flusso di E in S

1) E=(0,xy,xz), [S=(z^2+y, y, z), (y, z) \in T=(y, z) : 0 \leq z \leq y \leq 1]

2) E=(x,xy,-xz), S=[z-y^2=1, x^2+y^2<=1]


in questi casi credo sia conveniente il calcolo diretto del flusso

allego un possibile svolgimento dei due esercizi :)


Una piccola osservazione: Gabe non ha postato il testo completo: quando si chiede di calcolare un flusso si specifica anche quale deve essere la direzione della normale fra le due possibili e infatti in assenza di informazioni giustamente Gimusi ha svolto i due sercizi indicando quale normale prendeva. Fosse stata l'altra direzione cambiava il segno dell'integrale.


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