GAUSS-GREEN 1

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Re: GAUSS-GREEN 1

#16 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 giugno 2014, 22:12

Gabe ha scritto:Per il primo esercizio, ho solamente parametrizzato il dominio \Omega, anche se ho usato due parametri \theta e t volevo indicarne solo uno...


ah ok :)

Gabe ha scritto:..per il secondo infatti non ero sicuro che fosse nullo il flusso, puoi postare una soluzione?


se ho capito bene si richiede il flusso di v attraverso il bordo di omega...in tal caso il flusso dovrebbe essere 1/2 :)

[EDIT] nella rev01 ho corretto il disegno in 3D del dominio
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Re: GAUSS-GREEN 1

#17 Messaggioda Gabe » giovedì 19 giugno 2014, 22:29

Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?

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Re: GAUSS-GREEN 1

#18 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 giugno 2014, 22:33

Gabe ha scritto:Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?


credo di sì...ragionando per sezioni a z=costante x e y dovrebbero variare su un dominio triangolare del tipo 0<x<y<k
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Re: GAUSS-GREEN 1

#19 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 giugno 2014, 22:46

GIMUSI ha scritto:
Gabe ha scritto:Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?


credo di sì...ragionando per sezioni a z=costante x e y dovrebbero variare su un dominio triangolare del tipo 0<x<y<k


:oops: ops...hai ragione mannaggia l'ho disegnato bene in paiano e poi male in 3D...lo rifaccio subito
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Re: GAUSS-GREEN 1

#20 Messaggioda ghisi » sabato 21 giugno 2014, 14:51

Gabe ha scritto:Per il primo esercizio, ho solamente parametrizzato il dominio \Omega, anche se ho usato due parametri \theta e t volevo indicarne solo uno...


Quella che hai scritto è la parametrizzazione del bordo di \Omega non di \Omega

Gimusi ha scritto:se ho capito bene si richiede il flusso di v attraverso il bordo di omega...in tal caso il flusso dovrebbe essere 1/2 :)


Come sempre: questo è il flusso uscente. Se la richiesta fosse stata il flusso entrante cambiavano i segni.

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Re: GAUSS-GREEN 1

#21 Messaggioda Gabe » sabato 21 giugno 2014, 15:26

Si è vero, ho fatto conto che volesse utilizzare GG ed ho parametrizzato solo il bordo,

se volessi parametrizzare proprio l intero dominio \Omega potre dividere in 3 pezzi:

Pezzo 1: \rho \in [0, 2] e \theta \in [-\pi/2, -\pi/3]

Pezzo 2: \rho \in [0, 2] e \theta \in [-\pi/3, -\pi/2]

Pezzo 3: non ha tratti curvilinei, quindi niente \rho e \theta

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Re: GAUSS-GREEN 1

#22 Messaggioda Gabe » venerdì 27 giugno 2014, 15:59

Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

1) \Omega=\{0 \leq y \leq z \leq x^2 \leq 1 \}, \overline{E}=(y^2, x^2, z^2).

div(\overline{E})=2z \rightarrow Flusso=\int_{-1}^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2} 2z dz=2/7, anzichè 4/21 riportato nelle soluzioni

2) \Omega=\{x^2+y^2 \leq 1, x^2+z^2 \leq 1\}, \overline{E}=(x+3y, z^3y, x+z).

qui invece ho dei dubbi sul dominio, sono due circonferenze ruotate di 90° e la loro intersezione è il tratto dell' asse x tra -1 e 1, il dominio quindi qual'è?
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Re: GAUSS-GREEN 1

#23 Messaggioda GIMUSI » sabato 28 giugno 2014, 12:47

Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

1) \Omega=\{0 \leq y \leq z \leq x^2 \leq 1 \}, \overline{E}=(y^2, x^2, z^2).

div(\overline{E})=2z \rightarrow Flusso=\int_{-1}^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2} 2z dz=2/7, anzichè 4/21 riportato nelle soluzioni


mi pare che gli estremi di integrazione siano impostati male

conviene sempre farsi un disegno per capire quali sono gli estremi (soprattutto in casi come con domini molto strani)

io l'ho fatto sezionando per piani z costante, allego lo svolgimento

Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:
...
2) \Omega=\{x^2+y^2 \leq 1, x^2+z^2 \leq 1\}, \overline{E}=(x+3y, z^3y, x+z).

qui invece ho dei dubbi sul dominio, sono due circonferenze ruotate di 90° e la loro intersezione è il tratto dell' asse x tra -1 e 1, il dominio quindi qual'è?


il dominio è l'intersezione di due cilindri...allego lo svolgimento con due metodi:

- il primo, con piani z=k, porta a calcoli complicati

- il secondo, che corrisponde al metodo visto a lezione (n.34), si basa su piani x=k ed è molto più semplice

PS "qual è" senza apostrofo ti prego :)
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Re: GAUSS-GREEN 1

#24 Messaggioda Gabe » sabato 28 giugno 2014, 14:49

Proprio non riesco a visualizzare queste superfici in 3 dimensioni

GIMUSI ha scritto:
Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

PS "qual è" senza apostrofo ti prego :)


Non ci avevo mai fatto attenzione, me lo ricorderò! :D

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Re: GAUSS-GREEN 1

#25 Messaggioda e.rapuano » mercoledì 2 luglio 2014, 19:40

GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1... :shock:

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#26 Messaggioda GIMUSI » giovedì 3 luglio 2014, 21:53

e.rapuano ha scritto:GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1... :shock:


come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k
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Re: GAUSS-GREEN 1

#27 Messaggioda e.rapuano » giovedì 3 luglio 2014, 22:38

GIMUSI ha scritto:
e.rapuano ha scritto:GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1... :shock:


come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k


...ed escono dei rettangoli!?!? :? :shock:

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Re: GAUSS-GREEN 1

#28 Messaggioda GIMUSI » venerdì 4 luglio 2014, 8:31

e.rapuano ha scritto:
GIMUSI ha scritto:
e.rapuano ha scritto:GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1... :shock:


come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k


...ed escono dei rettangoli!?!? :? :shock:


è semplicissimo, se fissi z=k con 0 \leq k \leq 1 allora:

0 \leq y \leq k

-1 \leq x \leq -\sqrt k

\sqrt k \leq x \leq 1

quindi nei piani z=k il dominio si presenta come nel disegno riportato nello svolgimento (rettangoli o segmenti per i valori limite)

ovviamente si può anche ragionare per sezioni a x=k o a y=k
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Re: GAUSS-GREEN 1

#29 Messaggioda nomeutente » domenica 13 luglio 2014, 17:35

Ho un dubbio: ho come dominio la sfera di raggio 2 e il vettore E=(x + arctan(y^2), x + y + e^z^2, z)
La divergenza dovrebbe essere 3 e quindi GG si riduce al volume della sfera per 3, quindi 32π. Nella soluzione manca il π, ho sbagliato?

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Re: GAUSS-GREEN 1

#30 Messaggioda ghisi » domenica 13 luglio 2014, 17:41

nomeutente ha scritto:Ho un dubbio: ho come dominio la sfera di raggio 2 e il vettore E=(x + arctan(y^2), x + y + e^z^2, z)
La divergenza dovrebbe essere 3 e quindi GG si riduce al volume della sfera per 3, quindi 32π. Nella soluzione manca il π, ho sbagliato?


Io vorrei proprio sapere dove vi siete procurati tutte queste versioni vecchie dell'eserciziario...


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