Formula di Stokes

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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Gabe
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Formula di Stokes

#1 Messaggioda Gabe » lunedì 9 giugno 2014, 12:02

Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con S una superficie, con P un punto appartenente o meno alla superficie, con v_p la direzione normale ad S nel punto P, calcolare il flusso del vettore rotore di F.

1) S= x^2+y^2+z=1, z\geq0, P=(1, 0, 0), v_p=(2, 0, 1), F=(xy, z, arctan(x+y)).

2) S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0, P=(0, 0, 1), v_p=(0, 0, 1), F=(sin (y), xe^z, xz^2).

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla

ghisi
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Re: Formula di Stokes

#2 Messaggioda ghisi » lunedì 9 giugno 2014, 13:41

Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con S una superficie, con P un punto appartenente o meno alla superficie, con v_p la direzione normale ad S nel punto P, calcolare il flusso del vettore rotore di F.

1) S= x^2+y^2+z=1, z\geq0, P=(1, 0, 0), v_p=(2, 0, 1), F=(xy, z, arctan(x+y)).

2) S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0, P=(0, 0, 1), v_p=(0, 0, 1), F=(sin (y), xe^z, xz^2).

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla


Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.

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Re: Formula di Stokes

#3 Messaggioda GIMUSI » lunedì 9 giugno 2014, 22:46

ghisi ha scritto:
Gabe ha scritto:Ho dei problemi con questi due esercizi:

Indico con S una superficie, con P un punto appartenente o meno alla superficie, con v_p la direzione normale ad S nel punto P, calcolare il flusso del vettore rotore di F.

1) S= x^2+y^2+z=1, z\geq0, P=(1, 0, 0), v_p=(2, 0, 1), F=(xy, z, arctan(x+y)).

2) S= 4x^2+e^zy^2+z^2=1, y\geq0, P=(0, 0, 1), v_p=(0, 0, 1), F=(sin (y), xe^z, xz^2).

Mi blocco subito per colpa della parametrizzazione, non riesco ad individuare la figura e nemmeno a parametrizzarla


Cosa dice Stokes? Non ti serve parametrizzare la superficie. Puoi o ridurti a fare un integrale sul bordo della superficie oppure calcolare il flusso attraverso un'altra superficie più semplice con lo stesso bordo.


allego lo svolgimento :?: dei due esercizi :)
Allegati
140609 - integrali superficiali 07_rev01.pdf
[EDIT] la rev01 recepisce l'errore segnalato da Angelica sul calcolo del rotore
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140609 - integrali superficiali 08.pdf
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Re: Formula di Stokes

#4 Messaggioda Gabe » martedì 10 giugno 2014, 14:01

Ora va meglio :D grazie mille

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Re: Formula di Stokes

#5 Messaggioda Angelica27 » martedì 10 giugno 2014, 17:47

Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/

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Re: Formula di Stokes

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 10 giugno 2014, 21:45

Angelica27 ha scritto:Gimusi, perdonami, ma nel primo esercizio, quello in cui abbiamo una specie di semisfera, non capisco perché, quando ti calcoli il rotore, ti venga 0 come prima componente. C di y - B di z non fa 0 :/


certo hai ragione...anche se non influenza il risultato...il calcolo del rotore è sbagliato :|
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Re: Formula di Stokes

#7 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » domenica 29 giugno 2014, 15:59

Testo ese:

S:(x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0)

F (x e^x +y , x z^2 ,x)

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S (x^2 + z^2 =9) parametrizzato diventa (3cos\theta , 0 , 3 sen\theta)

il versore tangente sarà (-3 sen\theta ,0, 3 cos\theta) {Molto probabilmente mi manca un fratto 3 poichè il modulo del versore vale 3.. ma a regola tanto dovrei rimoltiplicare per 3 quando faccio il passaggio da ds a d\theta quindi dovrebbe essere ininfluente sul risultato finale}

Facendo F*vt = -9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2

e svolgento \int_{0}^{2\pi}-9e^{3sen\theta} cos\theta sen\theta + 9 cos\theta ^2 \, d\theta = 9\pi

il risultato del testo è -9\pi quindi penso che abbia sbagliato l'orientazione, però ricontrollando vedo che per \theta =0 ottengo il vettore (0,0,3) che è tangente al bordo con orientazione positiva....

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Re: Formula di Stokes

#8 Messaggioda GIMUSI » domenica 29 giugno 2014, 23:46

Filippo.ingrasciotta ha scritto:Testo ese:

S:(x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0)

F (x e^x +y , x z^2 ,x)

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S (x^2 + z^2 =9) parametrizzato diventa (3cos\theta , 0 , 3 sen\theta)...


la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta :)
Allegati
140629 - formula di stokes.pdf
(46.52 KiB) Scaricato 92 volte
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Re: Formula di Stokes

#9 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 30 giugno 2014, 9:11

GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:Testo ese:

S:(x^2+ 2 y^2 + z^2 =9 , y\ge 0)

F (x e^x +y , x z^2 ,x)

P:(3,0,0) vp(1,0,0)

Mediante la formula di stokes mi ritrovo a calcolare il flusso sul bordo di S.

Bordo di S (x^2 + z^2 =9) parametrizzato diventa (3cos\theta , 0 , 3 sen\theta)...


la parametrizzazione non va bene perché non rispetta la scelta fatta sulla normale

allego quella che dovrebbe essere l'impostazione corretta :)


Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

(3cos\theta , 0 , 3 sen\theta) quindi per \theta=0 ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per \theta=\pi/2 ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto \theta=0 sia nel punto \theta= \pi/2

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti

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Re: Formula di Stokes

#10 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 giugno 2014, 9:40

Filippo.ingrasciotta ha scritto:
Non mi è ben chiaro perché la parametrizzazione che ho dato non va bene, dopotutto e una circonferenza sul piano z-x dove ho considerato l'asse z come quello verticale e l'asse x come quello orizzontale. Il senso di percorrenza per essere positivo deve essere quello antiorario. Per come avevo impostato la parametrizzazione inoltre avevo:

(3cos\theta , 0 , 3 sen\theta) quindi per \theta=0 ho (3,0,0) e mi trovo sull'asse delle x positive mentre per \theta=\pi/2 ottengo (0,0,3) sull'asse delle z positive quindi il senso di percorrenza è antiorario.

Inoltre considerando il vettore tangente e concorde al senso di rotazione sia nel punto \theta=0 sia nel punto \theta= \pi/2

Negli ESE fatti ho notato che non ho mai sfruttato i dati relativi a P e vp .....dipende da questo il mio errore!? Se mi potresti spiegare meglio perché non va bene la parametrizzazione perché ero convinto di aver fatto tutti i ragionamenti giusti


la domanda è: antiorario rispetto a cosa?

la questione orientazione è spiegata approfonditamente nella lezione 51: "l'orientazione canonica è quella di un omino che percorre il bordo tenendo la superficie a sinistra e rimanendo in piedi secondo il vettore normale che orienta la superficie"

quindi, se la normale è quella concorde a (1,0,0) in (3,0,0), la parametrizzazione "canonica" ha verso opposto rispetto a quella da te indicato

in alternativa devi aggiungere un segno meno davanti all'integrale :)
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Re: Formula di Stokes

#11 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 30 giugno 2014, 10:49

scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 ,  z\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)
2) S=(x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F(x-y, y^2, xyz)
3) S=(x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1) P(2,0,0) vp(1,0,0) F(x+y, z, x-y)
4) S=(x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,0) F(1,2x,2y)

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Re: Formula di Stokes

#12 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 giugno 2014, 15:44

Filippo.ingrasciotta ha scritto:scrivo il testo di 4 ese che non mi sono tornati..

1) S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 ,  z\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)
2) S=(x + y^2 -z = 4 , x\ge0 , z\le0) P(0,2,0) vp(1,4,-1) F(x-y, y^2, xyz)
3) S=(x^2 + y^2 =4 , x\ge0, 0\le z\le1) P(2,0,0) vp(1,0,0) F(x+y, z, x-y)
4) S=(x^2 + y^4 +z^4 =1 , y\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,0) F(1,2x,2y)


prova a postare lo svolgimento di un esercizio...così magari si riesce a capire dove potrebbe essere l'errore :)
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Re: Formula di Stokes

#13 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 30 giugno 2014, 16:17

S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 ,  z\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]
il vt mi viene (1,0,-1)

\int_{\partial S}^{} F*vt \,ds= - \int xz - senx senz \,ds = \int_{0}^{1} -t*(1-t) + sent*sen(1-t)  dt= -1/6 + 1/2 (sen1-cos1)

ho provato a parametrizzare anche in un altro modo, sul piano z=0

\partial S = (x+y^2=1) =(t,\sqrt{1-t},0) t\in[0,1]
vt (1, \frac{-1}{2\sqrt{1-t}},0)

facendo l'integrale mi viene

\int_{0}^{1} \frac{-t}{2\sqrt{1-t}} \, dt = -2/3

Mi pare strano che mi vengano due valori diversi e inoltre il risultato giusto è 4/3

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Re: Formula di Stokes

#14 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 giugno 2014, 16:30

Filippo.ingrasciotta ha scritto:S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 ,  z\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]
..


mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?
GIMUSI

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Re: Formula di Stokes

#15 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 30 giugno 2014, 16:41

GIMUSI ha scritto:
Filippo.ingrasciotta ha scritto:S= (x + y^2 + z= 1, x\ge0 ,  z\ge0) P(1,0,0) vp(1,0,1) F(xz,x,senx senz)

parametrizzo sul piano y=0 ottenendo

\partial S = (x+z=1) =(t,0,1-t) t\in[0,1]
..


mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?


Onestamente no, anche perchè mi sono posto sempre il problema di disegnare il bordo di S e non la superficie totale....ma per avere il bordo non basta semplicemente "azzerare una variabile" e parametrizzare quel bordo?


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