Formula di Stokes

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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GIMUSI
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Re: Formula di Stokes

#16 Messaggioda GIMUSI » lunedì 30 giugno 2014, 17:03

Filippo.ingrasciotta ha scritto:
GIMUSI ha scritto:...
mi pare che il bordo non vada bene...credo che dovrebbe essere costituito da due tratti...hai provato a fare un disegno della superficie S?


Onestamente no, anche perchè mi sono posto sempre il problema di disegnare il bordo di S e non la superficie totale....ma per avere il bordo non basta semplicemente "azzerare una variabile" e parametrizzare quel bordo?


per individuare il bordo credo sia essenziale farsi un'idea, anche molto schematica, di come sia fatta la superficie

nel caso in esame il bordo non mi pare stia sul piano y=0 (infatti y varia tra -1 e 1) bensì sui piani x=0 e z=0

se fai un disegno di S ti sarà tutto più chiaro e molto probabilmente questo è l'errore che ti ha fatto sbagliare anche gli altri esercizi :)
GIMUSI

Gabe
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Re: Formula di Stokes

#17 Messaggioda Gabe » lunedì 30 giugno 2014, 19:28

Per questo esercizio la parametrizzazione del bordo mi torna cosi:

\delta\Omega_1=(1-t^2, t, 0), t \in [-1, 1]

\delta\Omega_2=(0, t, 0), t \in [-1, 1]

quindi il calcolo del flusso del rot(\overline{F}) su S, per questo verso della normale, applicando la formula di Stokes mi viene:

\int_{\delta\Omega_1} 0+(1-t^2)+0 dt - \int_{\delta\Omega_2} 0+0+0 dt = \int_{-1}^{1} (1-t^2) dt=4/3

Filippo.ingrasciotta
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Re: Formula di Stokes

#18 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » lunedì 30 giugno 2014, 19:46

Si si, guardando il disegno di S ho visto dove sbagliavo ora mi tornano

e.rapuano
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Re: Formula di Stokes

#19 Messaggioda e.rapuano » giovedì 3 luglio 2014, 21:44

Io non mi trovo con il risultato di questo esercizio:
la superficie è: x^2+y^2+z^2=4 con 0<=z<=1.
Il campo è F=(x, y+z, e^z)
Quando faccio il suo rotore mi esce rotF= (-1,0,0), il che è molto bello e mi ha indotto a pensare che sia meglio fare l'integrale di superficie del prodotto tra rotF e il versore normale alla superficie, piuttosto che parametrizzare il bordo...
Per parametrizzare la superficie...è giusto fare così? (u,v,sqrt(4 - u^2 - v^2))
Non è bellissimo da vedere...ma l'integrale non dovrebbe uscire troppo difficile...
a me esce zero...che non è il risultato giusto....quindi credo di aver sbagliato a integrare...
il dominio su cui integro è 0<= sqrt(4-u^2-v^2) <= 1 ??
è lecito svolgere le disequazioni fino ad arrivare a: 3<= u^2 + v^2 <= 4 ???
perchè io ho fatto così e poi ho proceduto con le coordinate polari....

ghisi
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Re: Formula di Stokes

#20 Messaggioda ghisi » giovedì 3 luglio 2014, 21:57

e.rapuano ha scritto:Io non mi trovo con il risultato di questo esercizio:
la superficie è: x^2+y^2+z^2=4 con 0<=z<=1.
Il campo è F=(x, y+z, e^z)
Quando faccio il suo rotore mi esce rotF= (-1,0,0), il che è molto bello e mi ha indotto a pensare che sia meglio fare l'integrale di superficie del prodotto tra rotF e il versore normale alla superficie, piuttosto che parametrizzare il bordo...
Per parametrizzare la superficie...è giusto fare così? (u,v,sqrt(4 - u^2 - v^2))
Non è bellissimo da vedere...ma l'integrale non dovrebbe uscire troppo difficile...
a me esce zero...che non è il risultato giusto....quindi credo di aver sbagliato a integrare...
il dominio su cui integro è 0<= sqrt(4-u^2-v^2) <= 1 ??
è lecito svolgere le disequazioni fino ad arrivare a: 3<= u^2 + v^2 <= 4 ???
perchè io ho fatto così e poi ho proceduto con le coordinate polari....


A dire il vero il risultato sull'eserciziario è 0... Quindi o hai letto male o hai la primissima versione dell'eserciziario (non pensavo ce ne fossero ancora in circolazione).

In ogni caso il metodo che hai indicato è corretto, supponendo che tu ti sia poi calcolato anche il vettore normale con la giusta orientazione.

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Re: Formula di Stokes

#21 Messaggioda e.rapuano » giovedì 3 luglio 2014, 22:20

:oops:
In qualche modo sono compiaciuto! XD
ahahahah
Si, non credo di aver sbagliato col versore... l'unica cosa è che ora mi viene il dubbio su molti esercizi che magari ho fatto bene e trovo il risultato sbagliato sul libro...
Riuscite a postare in qualche modo le soluzioni giuste degli esericizi riguardanti almeno gauss green e stokes? :D

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Re: Formula di Stokes

#22 Messaggioda nomeutente » lunedì 14 luglio 2014, 18:19

Ho un problema: sfera di raggio 1 con y, z>=0 normale esterna e devo calcolare il flusso di rotF con F=xz,y^2,ysinz
Che faccio?
Devo usare Stokes!!

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Re: Formula di Stokes

#23 Messaggioda GIMUSI » lunedì 14 luglio 2014, 23:13

nomeutente ha scritto:Ho un problema: sfera di raggio 1 con y, z>=0 normale esterna e devo calcolare il flusso di rotF con F=xz,y^2,ysinz
Che faccio?
Devo usare Stokes!!


allego un possibile svolgimento con stokes e con un metodo misto :)
Allegati
140714 - formula di stokes 02.pdf
(115.24 KiB) Scaricato 44 volte
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Re: Formula di Stokes

#24 Messaggioda nomeutente » martedì 15 luglio 2014, 9:45

Anche a me viene 0!!! La soluzione è 2/3..sarà sbagliata :)
Grazie GIMUSI :D


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