GAUSS GREEN 2

Curve e superfici, forme differenziali, integrali su curve e superfici, divergenze, rotori, Gauss-Green e Stokes
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e.rapuano
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Re: GAUSS GREEN 2

#16 Messaggioda e.rapuano » giovedì 3 luglio 2014, 22:36

GIMUSI ha scritto:
e.rapuano ha scritto:Panico momentaneo! :shock:
L'esercizio che state discutendo, prima di provare a farlo con gauss green, ho provato a risolverlo calcolando semplicemente l'integrale doppio della funzione sul triangolo che costituisce l'insieme omega....il problema è che svolgendo i calcoli considerando l'insieme prima normale rispetto all'asse y e poi normale rispetto all'asse x, mi escono due risultati diversi! D:
Il secondo risultato mi esce giusto, ma per rendere quel triangolo normale rispetto all'asse y, è giusto far variare y da 0 a 2 e x da 0 a (y/2) ?? Non riesco a trovare l'errore!!


l'impostazione dovrebbe essere giusta...probabilmente stai commettendo qualche errore nel calcolo dell'integrale

allego lo svolgimento con i vari metodi


..In realtà ora sono andato a rivedere gli appunti e mi trovavo....non capisco neanche perchè abbia creato quel post di panico... :oops:

samuele_basile
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Re: GAUSS GREEN 2

#17 Messaggioda samuele_basile » venerdì 5 giugno 2015, 11:00

Buon giorno a tutti. Scusate il disturbo ma vorrei degli aiuti per quanto riguarda gauss green. Più o meno in due dimensioni me la cavo, ma appena arrivato alla terza blocco totale. Ad esempio questo esercizio {(cos t, sen t, v), (t,v) appartengono [0, 2pi]x[0,1]} U {z=0} U {z=1} e la funzione è f(x,y,z)=x^2. Devo calcolare l'integrale della funzione sul dominio dato ma non so come applicare gauss. Chi potrebbe aiutarmi a risolverlo? :oops: grazie in anticipo

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Re: GAUSS GREEN 2

#18 Messaggioda samuele_basile » venerdì 5 giugno 2015, 12:08

GIMUSI ha scritto:
nel thread "Applicazione della formula di Gauss-Green" c'è un esercizio molto simile "140614 - formula di GG 02"...prova a confrontare il tuo svolgimento con quello



dove posso trovare questo esercizio??

ghisi
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Re: GAUSS GREEN 2

#19 Messaggioda ghisi » sabato 6 giugno 2015, 12:38

samuele_basile ha scritto:Buon giorno a tutti. Scusate il disturbo ma vorrei degli aiuti per quanto riguarda gauss green. Più o meno in due dimensioni me la cavo, ma appena arrivato alla terza blocco totale. Ad esempio questo esercizio {(cos t, sen t, v), (t,v) appartengono [0, 2pi]x[0,1]} U {z=0} U {z=1} e la funzione è f(x,y,z)=x^2. Devo calcolare l'integrale della funzione sul dominio dato ma non so come applicare gauss. Chi potrebbe aiutarmi a risolverlo? :oops: grazie in anticipo



Innanzi tutto dovresti scrivere il testo in maniera decente, altrimenti non si capisce nulla.

Comunque: quello che hai descritto è il bordo di un solido V in R^3, nel caso specifico si tratta di un cilindro in cui devi calcolare l'integrale di f (quindi l'integrale si potrebbe fare facilmente anche senza usare Gauss-Green).

Se vuoi usare Gauss-Green si ha che:

\int_V f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz= \int_{\delta V}<F, \nu> d\sigma

dove \nu è il versore normale esterno al bordo di V.

Per applicare Gauss-Green per prima cosa devi trovare una funzione vettoriale la cui divergenza è f. Ce ne sono tante, ad esempio (ma non è detto sia quella che ti fa fare meno conti, provane anche altre!), F(x,y,z) = (\frac{x^3}{3}, 0,0).

Il bordo di V è costituito da 3 pezzi: il cerchio C_1=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z = 0\} dove il versore normale rivolto verso l'esterno è (0,0,-1), il cerchio C_2=\{x^2+y^2 \leq 1, \; z =1\} dove il versore normale rivolto verso l'esterno è (0,0,1) e la superficie \{(\cos t, \sin t, v)\}\;  (t,v)\in[0, 2\pi]\times [0,1] con vettore normale rivolto verso l'esterno (non normalizzato) (\cos t, \sin t, 0).
Il prodotto scalare di F con la normale calcolato su C_1 e C_2 è nullo.
Quindi il tuo integrale diventa

\int_0^{2\pi}dt \int_0^1 \frac{\cos^4 t}{3} dv


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