#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 21 giugno 2018, 14:38
Beh, intanto riassumo il pdf. Vengono proposte 3 possibili definizioni di "somme di Riemann" per un integrale curvilineo. Intanto un po' di notazioni. La curva sia come sempre
[math]\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n
e la funzione da integrare sia una certa
[math]f:\Omega\to\mathbb{R}
con [math]\Omega un aperto che contiene il supporto della curva.
Consideriamo ora una partizione classica
[math]a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b
dell'intervallo.
La prima definizione sarebbe del tipo
[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|\cdot f(S_i)
dove i "tag" [math]S_i sono dei punti scelti a caso sul segmento di estremi [math]\gamma(t_i) e [math]\gamma(t_{i-1}) (segmento che sta nell'aperto se la partizione è abbastanza fitta).
La seconda definizione sarebbe del tipo
[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|\cdot f(\gamma(s_i))
dove ora i "tag" [math]s_i sono dei punti scelti a caso nell'intervallo [math][t_{i-1},t_i]. In questo modo vado a calcolare la [math]f in un punto del tratto di curva tra [math]\gamma(t_i) e [math]\gamma(t_{i-1}), e non sul segmento con tali estremi.
La terza definizione sarebbe del tipo
[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\ell(t_{i-1},t_i)\cdot f(\gamma(s_i))
dove [math]\ell(t_{i-1},t_i) indica la lunghezza del tratto di curva parametrizzato dall'intervallo [math][t_{i-1},t_i], ed i "tag" [math]s_i sono scelti come nella seconda definizione.
Sulla base di queste 3 definizioni di somma di Riemann si può dare una definizione alla Riemann di integrale curvilineo di una funzione, esattamente come si fa ad analisi 1 per gli integrali in una variabile.
Ebbene, sotto ipotesi di regolarità, ad esempio curva [math]C^1 e funzione [math]C^0, le 3 definizioni di integrale coincidono, tra di loro e con la formula
[math]\displaystyle\int_a^bf(\gamma(t))\cdot\|\gamma'(t)\|\,dt.