Definizione di integrale curvilineo

[Lorececco]

Buonasera,

allego PDF con domanda grazie per l'eventuale attenzione e buona serata!

[Massimo Gobbino]

Beh, intanto riassumo il pdf. Vengono proposte 3 possibili definizioni di "somme di Riemann" per un integrale curvilineo. Intanto un po' di notazioni. La curva sia come sempre

[math]\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^n

e la funzione da integrare sia una certa

[math]f:\Omega\to\mathbb{R}

con [math]\Omega un aperto che contiene il supporto della curva.

Consideriamo ora una partizione classica

[math]a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b

dell'intervallo.
La prima definizione sarebbe del tipo

[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|\cdot f(S_i)

dove i "tag" [math]S_i sono dei punti scelti a caso sul segmento di estremi [math]\gamma(t_i) e [math]\gamma(t_{i-1}) (segmento che sta nell'aperto se la partizione è abbastanza fitta).

La seconda definizione sarebbe del tipo

[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|\cdot f(\gamma(s_i))

dove ora i "tag" [math]s_i sono dei punti scelti a caso nell'intervallo [math][t_{i-1},t_i]. In questo modo vado a calcolare la [math]f in un punto del tratto di curva tra [math]\gamma(t_i) e [math]\gamma(t_{i-1}), e non sul segmento con tali estremi.

La terza definizione sarebbe del tipo

[math]\displaystyle\sum_{i=1}^n\ell(t_{i-1},t_i)\cdot f(\gamma(s_i))

dove [math]\ell(t_{i-1},t_i) indica la lunghezza del tratto di curva parametrizzato dall'intervallo [math][t_{i-1},t_i], ed i "tag" [math]s_i sono scelti come nella seconda definizione.

Sulla base di queste 3 definizioni di somma di Riemann si può dare una definizione alla Riemann di integrale curvilineo di una funzione, esattamente come si fa ad analisi 1 per gli integrali in una variabile.

Ebbene, sotto ipotesi di regolarità, ad esempio curva [math]C^1 e funzione [math]C^0, le 3 definizioni di integrale coincidono, tra di loro e con la formula

[math]\displaystyle\int_a^bf(\gamma(t))\cdot\|\gamma'(t)\|\,dt.

[Massimo Gobbino]

Possiamo poi discutere a lungo di vantaggi e svantaggi delle 3 definizioni. Ad esempio nello spirito della terza si potrebbe dare la definizione alla Darboux (ortodossa o "unrestricted"), che produce integrali inferiori/superiori per tutte le funzioni limitate, senza vincolo di continuità. In questo modo si dimostra ovviamente che gli integrali alla Darboux ed alla "Riemann terzo modo" coincidono.

Lo svantaggio della terza definizione è che richiede di aver dato prima la definizione di lunghezza di una curva, e quindi in un certo senso richiama quanto accade nelle altre due.

Quanto al fatto che tutte e 3 coincidano nel caso regolare, questo sostanzialmente è un esercizio: si tratta di far vedere che non cambia molto a "taggare" in un modo o nell'altro, perché i punti del tratto di curva parametrizzato da [math][t_{i-1},t_i] sono vicini a tutti i punti del segmento congiungente gli estremi, da cui si chiude con l'uniforme continuità della funzione in un intorno della curva.

Se servono più dettagli, basta chiedere.