Simulazione scritto d'esame 3

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2202
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Simulazione scritto d'esame 3

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 24 novembre 2013, 19:12

Come da tradizione, ecco la simulazione di scritto settimanale. Se però non serve a nulla ditelo, che trovo di meglio da fare :D.
Allegati
Simulazione3.pdf
Simulazione scritto numero 3
(35.33 KiB) Scaricato 421 volte

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#2 Messaggioda GIMUSI » domenica 15 dicembre 2013, 16:33

per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) \left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)

(b) (-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)

(c) x-2y+4z+3=0
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#3 Messaggioda GIMUSI » martedì 17 dicembre 2013, 21:04

per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per V

v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})

base ortonormale per V^\perp

w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})

(b) matrice proiezione ortogonale su V

\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
  0 &  \frac{1}{2}  & 0 &  -\frac{1}{2} \\
 -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
  0 &  -\frac{1}{2}  & 0 &  \frac{1}{2} \\
 \end{pmatrix}
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#4 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 18 dicembre 2013, 22:34

per il terzo esercizio

(a) esistenza e unicità dell'applicazione

\beta\neq2,\:\beta\neq-1,\alpha\in\mathbb{R}

(b) dimensione del ker(f)

\alpha\neq-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=0

\alpha=-1\Rightarrow\:\dim(\ker(f))=1
GIMUSI

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#5 Messaggioda Giorgio9092 » giovedì 19 dicembre 2013, 11:14

GIMUSI ha scritto:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) \left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)

(b) (-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)

(c) x-2y+4z+3=0


Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#6 Messaggioda Giorgio9092 » giovedì 19 dicembre 2013, 11:37

GIMUSI ha scritto:per il secondo esercizio

(a) basi ortonormali

base ortonormale per V

v_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: v_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}})

base ortonormale per V^\perp

w_1 = (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}},0) \: w_2 = (0,\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})

(b) matrice proiezione ortogonale su V

\begin{pmatrix}
 \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
  0 &  \frac{1}{2}  & 0 &  -\frac{1}{2} \\
 -\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
  0 &  -\frac{1}{2}  & 0 &  \frac{1}{2} \\
 \end{pmatrix}

Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#7 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 dicembre 2013, 11:38

Giorgio9092 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:per il primo esercizio ho ottenuto:

(a) \left(\dfrac{-75}{29},\dfrac{50}{29},\dfrac{45}{29}\right)

(b) (-3,2,1)+t\left(4,\dfrac{4\pm8\sqrt{2}}{5},\dfrac{-8\pm4\sqrt{2}}{5}\right)

(c) x-2y+4z+3=0


Come ti è venuta l' equazione del piano? Io ho provato a costruire la retta passante per il punto D e perpendicolare al piano ABC ma trovo dei punti diversi che non mi soddisfano neanche l' appartenenza! Non trovo l' errore.


visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova n=(-1,2,-4) da cui x-2y+4z+d=0

il parametro d è detrminato imponendo il passaggio per C o per D
GIMUSI

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#8 Messaggioda Giorgio9092 » giovedì 19 dicembre 2013, 12:04

GIMUSI ha scritto:visto che il piano contiene il vettore CD ed è parallelo ad AB, una sua normale è data un qualsiasi vettore ortogonale a CD e AB

con la "formula misteriosa" si trova n=(-1,2,-4) da cui x-2y+4z+d=0

il parametro d è detrminato imponendo il passaggio per C o per D


Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#9 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 dicembre 2013, 12:08

Giorgio9092 ha scritto: Questo ok, ma per trovare la matrice basta solo mettere i vettori trovati in precedenza?


io ho fatto così:

- si determina la matrice A di proiezione su V mettendo nelle prime due colonne v_1 e v_2 (in base canonica) con le restanti due nulle;

- in tal modo la matrice di proiezione A prende in input vettori in base v_1,v_2,w_1,w_2 e ne restituisce la proiezione su V in base canonica;

- si costruisce la matrice M di cambio di "base non canonica"\rightarrow"base canonica", cioè la matrice che ha come colonne v_1,v_2,w_1,w_2 in base canonica;

- si inverte M (qui conviene sfruttare il fatto che M è multiplo di una matrice ortogonale);

- si determina la matrice di proiezione nella base canonica AM^-^1
Ultima modifica di GIMUSI il giovedì 19 dicembre 2013, 20:54, modificato 1 volta in totale.
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#10 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 dicembre 2013, 12:11

Giorgio9092 ha scritto:
Scusa ma non ho capito, perchè il piano dovrebbe contenere CD? E CD parallelo a AB? Quelle non sono solo le condizioni richieste dell' ultimo punto?


:oops: pensavo ti riferissi la punto (c), invece mi pare che tu stia parlando del punto (a)
GIMUSI

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#11 Messaggioda Giorgio9092 » giovedì 19 dicembre 2013, 12:12

Si, era il piano del punto a che ti chiedevo!

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#12 Messaggioda Giorgio9092 » giovedì 19 dicembre 2013, 12:13

Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora :lol: :lol: :lol: scusa :roll:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#13 Messaggioda GIMUSI » giovedì 19 dicembre 2013, 12:19

Giorgio9092 ha scritto:Effettivamente non si capiva! Ho riletto ora :lol: :lol: :lol: scusa :roll:


per il piano ABC ho determinato la normale ai vettori AB e AC n=(3,-2,4) e ho imposto il passaggio per C (d=5): 3x-2y+4z+5=0

la retta ortogonale al piano e passante per D è (-3+3t,2-2t,1+4t)

imponendo l'appartenenza al piano si trova t=4/29
GIMUSI

Neomatrix092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 20
Iscritto il: domenica 13 ottobre 2013, 17:16

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#14 Messaggioda Neomatrix092 » venerdì 20 dicembre 2013, 10:54

Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio? :?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1116
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 3

#15 Messaggioda GIMUSI » venerdì 20 dicembre 2013, 11:01

Neomatrix092 ha scritto:Scusate, qualcuno può spiegarmi come si fa il 3° esercizio? :?
Cioè come faccio a studiare l'esistenza dell'applicazione al variare di alfa e beta?


la risposta è nella lezione 16 "Teorema di struttura: una applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume in una base"

quindi dovrebbe essere sufficiente trovare i valori di alfa e beta che rendono i vettori di partenza una base

se sono una base li puoi mandare dove vuoi, quindi alfa dovrebbe poter esser libero
GIMUSI


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti