Sottospazi vettoriali 1

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#31 Messaggioda GIMUSI » giovedì 30 ottobre 2014, 22:44

Pirello ha scritto:Premetto che non ho la minima idea di come si svolga p(5) = p( pi greco) = 0 ! :?: :?:


è passato un po' di tempo e rischio di esser arrugginito sull'argomento...mi pare che basta osservare che

(p1+p2)(5)=(p1+p2)(pi greco)=0

e che

a*(p1+p2)(5)=a*(p1+p2)(pi greco)=0

la dimensione dovrebbe essere 2, una base è

pe1=(x-5)*(x-pigreco)

pe2=(x^2-25)*(x-pigreco)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#32 Messaggioda Pirello » giovedì 30 ottobre 2014, 22:50

Si, avevo già dedotto a occhio che si tratta di un sottospazio vettoriale.. Il mio problema maggiore è come trovare la base..
Io avevo pensato, dato che i due polinomi devono essere uguali, che p(5) - p( pi greco) = 0 e provando a risolvere il sistema mi viene una cosa strana (data la presenza di pigreco)

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#33 Messaggioda GIMUSI » giovedì 30 ottobre 2014, 22:57

Pirello ha scritto:Si, avevo già dedotto a occhio che si tratta di un sottospazio vettoriale.. Il mio problema maggiore è come trovare la base..
Io avevo pensato che, dato che i due polinomi devono essere uguali, avevo dedotto che p(5) - p( pi greco) = 0 e provando a risolvere il sistema mi viene una cosa strana (data la presenza di pigreco)


beh se si deve annullare in 5 e pigreco deve avere almeno grado 2, allora la prima base è del tipo pe1=(x-5)*(x-pigreco)

al massimo il grado è tre, quindi la seconda base è del tipo pe2=(x-5)*(x-pi)*(x+a)
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#34 Messaggioda Pirello » giovedì 30 ottobre 2014, 23:02

Così ad occhio non riesco ancora a trovare le due basi indicate, non riesco a capire come fai a determinarle così su due piedi :roll: :|

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#35 Messaggioda GIMUSI » giovedì 30 ottobre 2014, 23:15

Pirello ha scritto:Così ad occhio non riesco ancora a trovare le due basi indicate, non riesco a capire come fai a determinarle così su due piedi :roll: :|


lo spazio è quello dei polinomi di grado inferiore o uguale a tre, quindi ci sono quattro possibilità:

1) grado 0: solo il polinomio nullo soddisfa la condizione quindi non c'è una base di grado zero

2) grado 1: nessun polinomio di 1° grado può soddisfare la condizione, quindi non c'è una base di primo grado

3) grado 2: 5 e pigreco sono due radici allora solo i polinomi di secondo grado del tipo c*(x-5)*(x-pigreco) soddisfano la condizione, allora pe1=(x-5)*(x-pigreco) è un vettore della base

4) grado 3: tutti i polinomi di terzo grado del tipo c*(x-5)*(x-pigreco)*(x+a) soddisfano la condizione, allora pe2=(x-5)*(x-pigreco)*x è un secondo vettore della base

si potrebbe dire che pe3=(x-5)*(x-pigreco)*(ax+b) è un terzo vettore della base ma non lo è, infatti: pe3=a*pe2+b*pe1

quindi la dimensione e 2

questo è un modo di ragionare "sbrigativo"...ma si dovrebbe ottenere abbastanza facilmente lo stesso risultato anche impostando un sistema
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#36 Messaggioda Pirello » giovedì 30 ottobre 2014, 23:41

Il ragionamento l'ho capito, ma non ho capito come fai a dire che una base "è del tipo c*(x-5)*(x-pigreco)*(x+a)", io svolgendo il sistema mi ritrovo tutt'altra roba (eventualmente ti posto domani lo svolgimento). Io ho sempre operato in modo "rigoroso", cioè col sistema, ma così facendo mi viene un sistema da 6-7 incognite con una sola equazione, cosa che mi sembra assurda.

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Re: Sottospazi vettoriali 1

#37 Messaggioda GIMUSI » giovedì 30 ottobre 2014, 23:46

Pirello ha scritto:Il ragionamento l'ho capito, ma non ho capito come fai a dire che una base "è del tipo c*(x-5)*(x-pigreco)*(x+a)", io svolgendo il sistema mi ritrovo tutt'altra roba (eventualmente ti posto domani lo svolgimento). Io ho sempre operato in modo "rigoroso", cioè col sistema, ma così facendo mi viene un sistema da 6-7 incognite con una sola equazione, cosa che mi sembra assurda.


perché c*(x-5)*(x-pigreco)*(x+a) soddisfa la condizione imposta e non è multiplo della prima base pe1

tornando al metodo rigoroso, imponendo le due condizioni si ottiene un sistema di due equazioni in quattro incognite, quindi ci sono due parametri liberi il che conferma che la dimensione è 2

dalla risoluzione dovresti ottenere le due basi
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#38 Messaggioda GIMUSI » giovedì 30 ottobre 2014, 23:55

ecco un possibile svolgimento rigoroso
Allegati
141030 - sottospazi vettoriali 1_es4f.pdf
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Re: Sottospazi vettoriali 1

#39 Messaggioda Pirello » venerdì 31 ottobre 2014, 11:35

Ora ho capito!! :mrgreen: Praticamente il mio stupidissimo errore è stato quello di mettere in una sola equazione entrambi i polinomi di grado inferiore a 3 con le dovute sostituzioni di 5 e pigreco, inoltre così facendo non mi sono accorto che potevo raccogliere (arrivando comunque all'equazione da te ottenuta tramite gauss). Sinceramente però non avrei mai pensato di imporre un altro sistema, rinominando i polinomi.. Essendo "alle prime armi" devo ancora scoprire i "trucchetti del mestiere" :lol:


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