Cambi di base 1

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

[Giorgio9092]

allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?

[alex994]

mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test 24 "Cambi di base 1"

mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?

per quel che ne so non vedo altre strade...se la matrice non è ortogonale o multipla di una ortogonale...bisogna calcolare l'inversa...e direi che per una 4x4..a meno che non sia piena zeppa di zeri...è conveniente farlo con gauss jordan

[GIMUSI]

mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?

è tutto spiegato nella lezione 20...se ti è chiara non dovresti avere difficoltà nel fare questi esercizi...cerco di riassumerti qui le cose...faccio un po' di premessa e magari molte ti sono già chiare ma credo sia più utile così...

consideriamo un esempio in ...per il discorso è identico

siano le componenti di un vettore nella base canonica

quando scriviamo intendendiamo che

ora consideriamo un'altra base costituita dai vettori (linearmente indipendenti) (assegnati nella base canonica)

il problema è questo: in che modo si determinano le componenti del vettore rispetto alla nuova base?

ovvero...quali sono i coefficienti tali che ?

se consideriamo la matrice che ha per colonne le componenti (rispetto alla canonica) di il problema equivale a risolvere il sistema:



dove

è il vettore colonna delle componenti incognite di nella nuova base

è il vettore colonna delle componenti note di nella base canonica (=vecchia base)

la cosa davvero fondamentale capire il significato della matrice M

consideriamo ad esempio il vettore x=(1,0,0) che rappresenta le componenti di nella nuova base

il prodotto fornisce le componenti in base canonica di (= prima colonna di ) e così via per gli altri vettori della nuova base

lo stesso discorso vale per qualsiasi vettore di componenti rispetto alla nuova base...il prodotto fornisce le componenti in base canonica di quel vettore

allora rappresenta il cambio di base dalla nuova base alla canonica

e dato che allora

quindi la sua inversa (che esiste perché i sono l.ind.) rappresenta il cambio di base dalla canonica alla nuova base

la prima parte dell'esercizio chiede proprio questo: data una nuova base, determinare la matrice di cambio base dalla canonica alla nuova base

allora è sufficiente costruire, per ciascuna base, la matrice (mettendo in colonna i assegnati) ed invertirla...le sono la risposta delle prime due colonne dell'esercizio

nella seconda parte si chiede di fornire la matrice di cambio base dalla base alla base e c'è già tutto il necessario per risolverlo

indichiamo con la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per e con la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per , allora per un generico vettore di componenti y (vettore colonna) nella base canonica risulta:





quindi



e pertanto



quindi rappresenta il cambio di base dalla base 2 alla base 1...ed è la risposta della terza colonna dell'esercizio

[volm92]

Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!?

[GIMUSI]

Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!?

anche se la base sono matrici quando ragioni sulle componenti diventano vettori in

se assumi come base canonica le matrici 2x2 che hanno un solo 1 e tutti zero costruite procedendo riga per riga da sinistra verso destra allora (ma potresti farlo anche in altri modi)

la matrice è rappresentata dal vettore (1,1,1,0)

matrice è rappresentata dal vettore (1,1,0,1)

e così via...poi procedi come negli esercizi precedenti

[samuele_basile]

Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi?

[GIMUSI]

Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi?

quello dei polinomi di grado minore o uguale ad un n fissato è uno spazio vettoriale con base canonica

ad esempio per n=3 il polinomio nella base canonica è rappresentato dal vettore che ha componenti

detto questo, i procedimenti sono i medesimi impiegati per gli esercizi precedenti

in altri thread dovresti trovare altre indicazioni in merito, in particolare nelle schede relative agli spazi e sottospazi vettoriali

[samuele_basile]

Perfetto, grazie mille!