Cambi di base 1

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Cambi di base 1

#1 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 25 dicembre 2013, 0:57

allego le soluzioni :?: del test 24 "Cambi di base 1"
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AL_Esercizi - Test 24 - CAMBI DI BASE 01.pdf
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Giorgio9092
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Re: Cambi di base 1

#2 Messaggioda Giorgio9092 » lunedì 6 gennaio 2014, 11:28

GIMUSI ha scritto:allego le soluzioni :?: del test 24 "Cambi di base 1"


mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?

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Re: Cambi di base 1

#3 Messaggioda alex994 » lunedì 6 gennaio 2014, 14:09

mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?

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Re: Cambi di base 1

#4 Messaggioda GIMUSI » lunedì 6 gennaio 2014, 15:58

Giorgio9092 ha scritto:
GIMUSI ha scritto:allego le soluzioni :?: del test 24 "Cambi di base 1"


mi trovo con tutti, solo due cose!
negli esercizi 6 e 8 fai le inverse della 4x4 o c'è un modo più veloce per trovare le matrici?


per quel che ne so non vedo altre strade...se la matrice non è ortogonale o multipla di una ortogonale...bisogna calcolare l'inversa...e direi che per una 4x4..a meno che non sia piena zeppa di zeri...è conveniente farlo con gauss jordan :)
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Re: Cambi di base 1

#5 Messaggioda GIMUSI » lunedì 6 gennaio 2014, 17:07

alex994 ha scritto:mi potreste spiegare come risolvere quest esercizi?


è tutto spiegato nella lezione 20...se ti è chiara non dovresti avere difficoltà nel fare questi esercizi...cerco di riassumerti qui le cose...faccio un po' di premessa e magari molte ti sono già chiare ma credo sia più utile così...

consideriamo un esempio in R^3...per R^n il discorso è identico

siano (a,b,c) le componenti di un vettore v nella base canonica e_1,e_2,e_3

quando scriviamo v=(a,b,c) intendendiamo che v=ae_1+be_2+ce_3

ora consideriamo un'altra base costituita dai vettori (linearmente indipendenti) v_1,v_2,v_3 (assegnati nella base canonica)

il problema è questo: in che modo si determinano le componenti del vettore v rispetto alla nuova base?

ovvero...quali sono i coefficienti x,y,z tali che v=xv_1+yv_2+zv_3?

se consideriamo la matrice M che ha per colonne le componenti (rispetto alla canonica) di v_1,v_2,v_3 il problema equivale a risolvere il sistema:

Mx=y

dove

x è il vettore colonna delle componenti incognite (x,y,z) di v nella nuova base

y è il vettore colonna delle componenti note di v nella base canonica (=vecchia base)

la cosa davvero fondamentale capire il significato della matrice M

consideriamo ad esempio il vettore x=(1,0,0) che rappresenta le componenti di v_1 nella nuova base

il prodotto Mx fornisce le componenti in base canonica di v_1 (= prima colonna di M) e così via per gli altri vettori della nuova base

lo stesso discorso vale per qualsiasi vettore di componenti x=(x,y,z) rispetto alla nuova base...il prodotto Mx fornisce le componenti in base canonica di quel vettore

allora M rappresenta il cambio di base dalla nuova base alla canonica

e dato che y=Mx allora M^-^1y=x

quindi la sua inversa (che esiste perché i v_i sono l.ind.) M^-^1 rappresenta il cambio di base dalla canonica alla nuova base

la prima parte dell'esercizio chiede proprio questo: data una nuova base, determinare la matrice di cambio base dalla canonica alla nuova base

allora è sufficiente costruire, per ciascuna base, la matrice M (mettendo in colonna i v_i assegnati) ed invertirla...le M^-^1 sono la risposta delle prime due colonne dell'esercizio

nella seconda parte si chiede di fornire la matrice di cambio base dalla base B_1 alla base B_2 e c'è già tutto il necessario per risolverlo

indichiamo con M la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per B_1 e con N la matrice di cambio base (nuova base --> canonica) per B_1, allora per un generico vettore di componenti y (vettore colonna) nella base canonica risulta:

y=Mx_1

y=Nx_2

quindi

Mx_1=Nx_2

e pertanto

x_1=M^-^1Nx_2

quindi M^-^1N rappresenta il cambio di base dalla base 2 alla base 1...ed è la risposta della terza colonna dell'esercizio
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Re: Cambi di base 1

#6 Messaggioda volm92 » giovedì 23 gennaio 2014, 16:25

Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!? :oops:

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Re: Cambi di base 1

#7 Messaggioda GIMUSI » giovedì 23 gennaio 2014, 16:47

volm92 ha scritto:Gli esercizi in tabella mi vengono..ma non capisco come impostare l'ultimo esercizio: quello delle Matrici 2x2. Come mettro tra di loro le matrici di base!? :oops:


anche se la base sono matrici quando ragioni sulle componenti diventano vettori in R^4

se assumi come base canonica le matrici 2x2 che hanno un solo 1 e tutti zero costruite procedendo riga per riga da sinistra verso destra allora (ma potresti farlo anche in altri modi)

la matrice v_1 è rappresentata dal vettore (1,1,1,0)

matrice v_2 è rappresentata dal vettore (1,1,0,1)

e così via...poi procedi come negli esercizi precedenti :)
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Re: Cambi di base 1

#8 Messaggioda samuele_basile » mercoledì 21 gennaio 2015, 14:26

Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi? :?:

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Re: Cambi di base 1

#9 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 21 gennaio 2015, 15:19

samuele_basile ha scritto:Salve a tutti! su questi esercizi non ho capito come si fanno gli esercizi 7 e 8. sto provando in vari modi ma non riesco a raggiungere la soluzione. Potreste aiutarmi? :?:


quello dei polinomi di grado minore o uguale ad un n fissato è uno spazio vettoriale con base canonica 1, x, x^2,...,x^n

ad esempio per n=3 il polinomio 3x^2+2x-1 nella base canonica è rappresentato dal vettore che ha componenti (-1,2,3)

detto questo, i procedimenti sono i medesimi impiegati per gli esercizi precedenti

in altri thread dovresti trovare altre indicazioni in merito, in particolare nelle schede relative agli spazi e sottospazi vettoriali :)
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Re: Cambi di base 1

#10 Messaggioda samuele_basile » giovedì 22 gennaio 2015, 12:12

Perfetto, grazie mille! :D


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