Applicazioni lineari 5

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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Gabe
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Re: Applicazioni lineari 5

#16 Messaggioda Gabe » lunedì 23 giugno 2014, 18:07

Gimusi nell'esercizio 3 punto b, quando dici:

f(v_1)=\begin{pmatrix} 2a-1 \\ -2b+3 \\ 1 \\ d \end{pmatrix} , f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ b-1 \\ 1-c \\ 0 \end{pmatrix} \in V \rightarrow \begin{cases} 2a-1-2b+3+1=0 \\ 2a-1-d=0 \\ b-1+1-c=0 \\ 0=0  \end{cases}

come fai a impostare il sistema a destra? ho provato a sostituire le componenti di f(v_1) e f(v_2) nella base di V: <(2, -2, 0, 1), (0, 1, -1, 0)>, ma non mi viene cosi

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Re: Applicazioni lineari 5

#17 Messaggioda GIMUSI » lunedì 23 giugno 2014, 21:17

Gabe ha scritto:Gimusi nell'esercizio 3 punto b, quando dici:

f(v_1)=\begin{pmatrix} 2a-1 \\ -2b+3 \\ 1 \\ d \end{pmatrix} , f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ b-1 \\ 1-c \\ 0 \end{pmatrix} \in V \rightarrow \begin{cases} 2a-1-2b+3+1=0 \\ 2a-1-d=0 \\ b-1+1-c=0 \\ 0=0  \end{cases}

come fai a impostare il sistema a destra? ho provato a sostituire le componenti di f(v_1) e f(v_2) nella base di V: <(2, -2, 0, 1), (0, 1, -1, 0)>, ma non mi viene cosi


le componenti di f(v_1) e f(v_2) devono soddisfare la definizione di V
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Re: Applicazioni lineari 5

#18 Messaggioda Gabe » lunedì 23 giugno 2014, 23:20

Giusto :D , grazie mille!

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Re: Applicazioni lineari 5

#19 Messaggioda Balengs » giovedì 28 agosto 2014, 11:28

Ciao GIMUSI,

sto svolgendo questa parte degli esercizi e non riesco a capire lo svolgimento del punto a) - esercizio n°4.

In pratica quando bisogna dimostrare che esiste un'applicazione che verifica la 2a condizione f(f(w))=0 \forall w \in W,
tu scrivi

f(f(w))=0  \ \forall w \in W \rightarrow f(f(w_{1} + f(w_{2}) \dots

e già qui mi chiedo perché non dovrebbe essere f(f(aw_{1} + f(bw_{2}) dato che stiamo parlando del generico w \in W.... :?:

proseguendo dai puntini scrivi

\dots f(f(w_{1} + f(w_{2}) = f(1, -1, -1, 1) =f(w_{1} - w_{2}) = 0 con commento \{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\} sono una base di W, quindi f esiste unica

perché f(w_{1} - w_{2}) dovrebbe dare 0 come risultato :?: E perché è importante che \{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\} sono una base di W :?: :?:

Ho dei dubbi anche sul punto C, ma potrebbero essere legati al fatto che non capisco il ragionamento nel summenzionato punto a) ... quindi vorrei vedere se il tuo aiuto riesce a dirimerli "in un colpo solo" :mrgreen:

Grazie in anticipo per qualsiasi chiarimento sei in grado di fornirmi.
Ultima modifica di Balengs il venerdì 29 agosto 2014, 8:56, modificato 1 volta in totale.

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Re: Applicazioni lineari 5

#20 Messaggioda GIMUSI » giovedì 28 agosto 2014, 21:55

a parte la solita premessa che comincia ad essere passato un po' di tempo e certi ragionamenti mi riesce più difficile ricostruirli...direi che

Balengs ha scritto:tu scrivi

f(f(w))=0  \ \forall w \in W \rightarrow f(f(w_{1} + f(w_{2}) \dots


forse ho saltato un passaggio che avrebbe reso la cosa più chiara; è da intendere così:

f(f(w))=0 \ \forall w \in W \rightarrow f(f(w_{1}))+f(f(w_{2}))=f(f(w_{1}) + f(w_{2}))=0

Balengs ha scritto:e già qui mi chiedo perché non dovrebbe essere f(f(aw_{1} + f(bw_{2}) dato che stiamo parlando del generico w \in W.... :?:


spero che ora il ragionamento sia più chiaro, sul generico vettore dirò qualcosa dopo

Balengs ha scritto:proseguendo dai puntini scrivi

\dots f(f(w_{1} + f(w_{2}) = f(1, -1, -1, 1) =f(w_{1} - w_{2}) = 0 con commento \{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\} sono una base di W, quindi f esiste unica

perché f(w_{1} - w_{2} dovrebbe dare 0 come risultato :?: E perché è importante che \{(w_{1} + (w_{2}), (w_{1} - w_{2})\} sono una base di W :?: :?:


per il teorema di struttura delle applicazioni lineari (vd. lez. 16), una volta che si stabilisce dove va una base di W l'applicazione è univocamente determinata

tornando al vettore generico, si può verificare facilmente (io non l'ho fatto ma puoi provare tu) che per un generico vettore di W vale la proprietà f(f(w))=0 :)
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Re: Applicazioni lineari 5

#21 Messaggioda Balengs » venerdì 29 agosto 2014, 8:59

Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto :) , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.

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Re: Applicazioni lineari 5

#22 Messaggioda GIMUSI » venerdì 29 agosto 2014, 9:49

Balengs ha scritto:Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto :) , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.


tieni conto del fatto che la condizione f(f(w))=0 si può imporre su un qualsiasi vettore di W che formi una base con w_1+w_2

io ne ho scelto uno tra i tanti e non ti saprei nemmeno dire il perché :)
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Re: Applicazioni lineari 5

#23 Messaggioda GIMUSI » venerdì 29 agosto 2014, 13:14

GIMUSI ha scritto:
Balengs ha scritto:Ho visto la tua risposta e volevo ringraziarti per il tuo aiuto :) , non appena a casa me la leggo per bene e vedo se mi è tutto chiaro o se ho ancora qualche dubbio.


tieni conto del fatto che la condizione f(f(w))=0 si può imporre su un qualsiasi vettore di W che formi una base con w_1+w_2

io ne ho scelto uno tra i tanti e non ti saprei nemmeno dire il perché :)


ah ecco...ho utilizzato proprio quella condizione per sfruttare il fatto che si sappiamo che f(w_1)+f(w_2)=w_1-w_2 :)
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