Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1088
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#1 Messaggioda GIMUSI » domenica 16 febbraio 2014, 18:22

mi trovo in grande difficoltà con l'esercizio n.4 del test n.47 "Prodotti scalari - Esercizi teorici 2"

non riesco a capire come sia possibile che, in generale, due prodotti scalari definiti positivi ammettano una stessa base ortonormale :cry:
GIMUSI

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1802
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 16 febbraio 2014, 22:46

Inizia a pensare al caso in cui uno dei 2 è il prodotto scalare canonico ...

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1088
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#3 Messaggioda GIMUSI » lunedì 17 febbraio 2014, 18:15

cerco di spiegare qual è la difficoltà che incontro nella costruzione di una base ortonormale comune ai due prodotti scalari definiti positivi

supponiamo che le matrici associate ai due prodotti scalari definiti positivi siano: I e B (è sempre possibile ricondursi a questo caso)

ci proponiamo costruire una base ortonormale rispetto ad entrambi i prodotti scalari

sia v_1 il primo vettore della base, in generale risulterà:

v_1^tBv_1=b_1

v_1^tIv_1= \parallel v_1 \parallel ^2

affinché v_1 sia normalizzabile rispetto ai due prodotti scalari deve risultare:

v_1^tBv_1= v_1^tIv_1

e quindi:

v_1^t(B-I)v_1= 0

v_1 \neq 0

cioè v_1 deve essere isotropo rispetto al prodotto scalare con matrice associata (B-I)...e questo non è possibile in generale :roll:
GIMUSI

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1802
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 17 febbraio 2014, 18:22

Ops, mi cospargo il capo di cenere :oops: :oops: :oops:

Ortonormale per tutti e 2 è una richiesta irricevibile (basta pensare a I e 2I :D ).

Intendevo dire ortogonale. Sorry, ma l'età gioca brutti scherzi :oops: :oops:

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1088
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#5 Messaggioda GIMUSI » lunedì 17 febbraio 2014, 18:28

dopo i svariati tentativi stavo per perdere le speranze...meglio così :D

il fatto strano sarebbe stato se l'avessi trovata...mi davano la medaglia fields :lol:

PS

quindi se (B-I) fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1088
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#6 Messaggioda GIMUSI » martedì 18 febbraio 2014, 23:10

allego le soluzioni :?: con svolgimento :?: del test n.47 “Prodotti scalari - Esercizi teorici 2”
Allegati
AL_Esercizi - Test 47 - PRODOTTI SCALARI ESERCIZI TEORICI 02.pdf
(750.49 KiB) Scaricato 39 volte
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1088
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#7 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 19 febbraio 2014, 0:18

GIMUSI ha scritto:quindi se (B-I) fosse indefinita una sua base isotropa servirebbe allo scopo?


ovviamente ho detto una sciocchezza...anche se (B-I) fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di B e I
GIMUSI

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1802
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#8 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 19 febbraio 2014, 10:38

GIMUSI ha scritto:anche se (B-I) fosse indefinita una sua base isotropa renderebbe uguali solo le diagonali di B e I


Certo, ed il problema non è di rendere uguali le diagonali, ma nullo contemporaneamente il resto. Tra l'altro, rendere uguali le diagonali è facile, nel senso che ci sono tantissimi gradi di libertà nella scelta delle basi che lo fanno, mentre rendere contemporaneamente nullo il resto è qualcosa che si può fare, tranne casi speciali (autovalori con molteplicità maggiore di 1), in modo sostanzialmente unico.

Avatar utente
Balengs
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 14
Iscritto il: sabato 16 agosto 2014, 13:43

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#9 Messaggioda Balengs » domenica 7 settembre 2014, 18:11

Eccomi di nuovo... :roll:
mi sono avventurato in questa parte degli esercizi e sono arrivato fino al punto 4 (diagonalizzazione simultanea).
E quindi mi perdo quando

{\ps <x_i,x_j>_B} = x_i^tBx_j = b_i_j = \widehat B

non mi è per nulla evidente perchè \widehat B dovrebbe ancora essere simmetrica dopo il cambio di base fatto tramite gli autovettori ortonormali di A. :(
E' possibile avere una spiegazione? Sono completamente fuori strada... :cry:

Update: al punto 5a) mi sembra di procedere in maniera diversa rispetto alle soluzioni e vorrei essere sicuro quindi di non sbagliare. Per determinare che esiste una matrice simmetrica B tale che A = B^{2013} ho fatto così:

\rightarrow ho "invocato" il teorema spettrale dicendo che sia A sia B essendo simmetriche possono essere diagonalizzate tramite matrice ortogonale M^{-1} = M^t di autovettori
\rightarrow quindi ho ragionato nel seguente modo:

M^tAM=D

\widehat M^tB\widehat M=D (dato che sono simili hanno la stessa forma canonica)

B=\widehat MD \widehat M^t quindi B^{2013}=\widehat MD \widehat M^t \widehat MD \widehat M^t \cdot \cdot \cdot \widehat MD \widehat M^t

B^{2013}=\widehat MD^{2013} \widehat M^t

A=MDM^t = \widehat MD^{2013} \widehat M^t = B^{2013}

Va bene come ragionamento oppure ho sballato? Mi sembrava simile a quanto visto nelle lezioni :|

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1802
Età: 49
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#10 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 8 settembre 2014, 9:42

Uhm, di quello che scrivi sul (5a) non mi torna nulla :?. In particolare non è vero che A e B sono simili. L'esercizio chiede di dimostrare che per ogni A simmetrica esiste almeno una B simmetrica la cui potenza 2013-esima è proprio A. In questo caso devi, in poche parole, dire come costruire B a partire da A. Avrai capito la cosa quando ti sarà chiara questa procedura, e saprai applicarla in casi concreti, ad esempio scrivendo una matrice 2*2 simmetrica a caso e trovando la B corrispondente. Per allenamento, puoi iniziare considerando la potenza terza invece di 2013-esima.

Anche sul 4 vale lo stesso approccio. Prendi 2 prodotti scalari definiti positivi a caso (ce ne sono tanti negli esercizi precedenti), e prova a trovare una base che sia ortogonale per entrambi.

E, soprattutto, lavora sugli esercizi a 5 stelle quando ti sono estremamente chiari quelli a 3 stelle.

Avatar utente
Balengs
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 14
Iscritto il: sabato 16 agosto 2014, 13:43

Re: Prodotti scalari - Esercizi teorici 2

#11 Messaggioda Balengs » lunedì 8 settembre 2014, 15:40

Grazie della risposta professore.
Proverò a rivedermi gli esercizi precedenti per capire cosa non mi è chiaro :!:


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite