Descrizione base appartenente a Mat2x2

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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FedeB
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Descrizione base appartenente a Mat2x2

#1 Messaggioda FedeB » venerdì 16 marzo 2018, 16:56

Buonasera a tutti, vi posto un esercizi che ho incontrato sulle basi.

Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.


Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''

Risoluzione:

Sia A una matrice 2x2.

[math]

Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori [math] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che [math]

Inizio dalla prima:

la combinazione lineare indipendente corrisponde a:

[math]

Che corrisponde al sistema:


[math]

In forma matriciale:


[math]

Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:

[math]

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.


Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.


-Federico

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Re: Descrizione base appartenente a Mat2x2

#2 Messaggioda GIMUSI » sabato 17 marzo 2018, 18:33

L'idea di è quella giusta, riporto solo qualche osservazione

FedeB ha scritto: ...
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori [math] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:

1) che la combinazione lineare sia indipendente

2) che i vettori siano generatori di A, cioè che [math]

...


Puoi semplicemente affermare che è necessario trovare 4 vettori linearmente indipendenti, a qual punto dimensione e span sono assicurati (osserva anche che [math] non ha significato).


FedeB ha scritto:...Che corrisponde al sistema:


[math]

In forma matriciale:


[math]

...


Non mi pare che la forma matriciale corrisponda al sistema. Il sistema in a,b,c,d dovrebbe essere

[math]

FedeB ha scritto:...

Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.



In realtà hai impostato il sistema ma non hai trovato una base. La condizione per avere una base è che la matrice associata al sistema abbia rango 4.

Per risolvere l'esercizio puoi semplicemente utilizzare la base canonica esattamente come i vettori [math] ed osservare che ogni matrice A 2x2

[math]

può essere scritta come combinazione delle matrici elementari

[math]
i cui coefficienti come puoi facimente verificare soddisfano la condizione rango=4.
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Re: Descrizione base appartenente a Mat2x2

#3 Messaggioda FedeB » sabato 17 marzo 2018, 23:12

(osserva anche che Span{v1,v2,v3,v4}=4 non ha significato).


Errore mio, dovevo scrivere che lo Span{v1,v2,v3,v4}=V con V spazio vettoriale di una Mat2x2 giusto?

Ho capito il senso dell'esercizio (forse); quello che dovevo fare era semplicemente crearmi una base, quindi creare 4 vettori linearmente indipendenti e confermare che fossero una base giusto?

Siccome mi hai dato la base canonica, allora ho tentato di crearmi una base. Posto lo svolgimento e magari giustificando i passaggi:

Devo creare una base tale che generi una matrice 2x2; le matrici 2x2 hanno dimensione 4 poiché nelle matrici la dimensione può coincide con il rango (quindi col numero di pivot).

Siano v1,v2,v3,v4 i seguenti vettori:

\(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\) \(v2 = \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\) \(v3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) \(v4 = \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\)

La combinazione lineare sarà del tipo:

a* \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\) + b* \( \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\) + c* \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) + d* \( \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)



Verifichiamo la dipendenza impostando la seguente matrice:

\(A = \begin{pmatrix} 1&0&1&6&0\\ 2&2&1&1&0 \\3&4&1&-1&0 \\ 0&1&0&3&0 \end{pmatrix}\)

Ridotta:

\(A(rid) = \begin{pmatrix} 3&4&1&-1&0\\ 0&4&-2&-19&0 \\0&0&-2&-31&0 \\ 0&0&0&-9&0 \end{pmatrix}\)

Equivale a:

\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)

Quindi i vettori sono indipendenti; il rango corrisponde a 4 quindi la dimensione è 4. Sempre per il teorema delle proprietà delle basi (punto 5), posso affermare che è base. La base è costituita da:

\begin{cases}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\end{cases}\

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Re: Descrizione base appartenente a Mat2x2

#4 Messaggioda GIMUSI » domenica 18 marzo 2018, 9:26

FedeB ha scritto:
(osserva anche che Span{v1,v2,v3,v4}=4 non ha significato).


Errore mio, dovevo scrivere che lo Span{v1,v2,v3,v4}=V con V spazio vettoriale di una Mat2x2 giusto?

Ho capito il senso dell'esercizio (forse); quello che dovevo fare era semplicemente crearmi una base, quindi creare 4 vettori linearmente indipendenti e confermare che fossero una base giusto?



Sì certo la scrittura per lo span è quella giusta.

Sì infatti l'esercizio chiedeva di trovare una base e la canonica (o altri basi semplici tipo e1,e1+e2,e1+e2+e3,e1+e2+e3+e4) va benissimo non occorre trovarne di più complicate.

Il metodo che hai utilizzato diventa obbligatorio se ti vengono dati 4 vettori e devi verificare se sono una base.
GIMUSI


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