Da sistema di generatori a coordinate cartesiani

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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FedeB
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Da sistema di generatori a coordinate cartesiani

#1 Messaggioda FedeB » martedì 20 marzo 2018, 18:27

Buonasera a tutti,

apro un nuovo argomento (sperando che non sia considerato spam) invece di postare in quello postato prima così magari qualcuno può vedere eventuali soluzioni a questo tipo di problema.
Il problema è il seguente:

Si considerino i seguenti vettori in C^5:
[math]

Sia W =<v1,v2,v3,v4>

1) Si calcoli la base di W

2) Si calcoli la dimensione di W

3) Si descriva W tramite equazioni cartesiane


Per quanto riguarda il punto 1, ho ridotto la matrice da:

[math]

a:

[math]

Ho 3 pivot su v1,v2 e v3. Essendo v4 una variabile libera, la posso scartare e dire che v1,v2,v3 fanno una base; però anche v1,v2,v4 sono una base. Insomma, scegliendone 3 su 4 di vettori ho sempre una base.

Il punto due, dim(W)=3 poiché rng(W)=3.

Il problema è il punto 3, che non so se ho fatto bene o male. In questo tipo di esercizi solitamente da quel che ho capito è cercare di ridurre l'ultima riga a tutti 0 nella matrice dei coefficienti (ovviamente se non ho rango max, giusto?) impostando anche dei coefficienti, cioè:


[math]

Svolgendola mi torna la seguente matrice:

[math]

L'equazione cartesiana mi torna:

[math]
[math]

è corretta?

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Re: Da sistema di generatori a coordinate cartesiani

#2 Messaggioda GIMUSI » martedì 20 marzo 2018, 20:21

FedeB ha scritto:Per quanto riguarda il punto 1, ho ridotto la matrice da: \begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\ 2&0&2&0&0 \\ 3&1&1&2&0 \\4&0&2&1&0\\5&1&3&2&0 \end{pmatrix}a:\begin{pmatrix} 5&1&3&2&0\\ 0&-4&-2&-3&0 \\ 0&0&-10&5&0 \\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0 \end{pmatrix}Ho 3 pivot su v1,v2 e v3. Essendo v4 una variabile libera, la posso scartare e dire che v1,v2,v3 fanno una base; però anche v1,v2,v4 sono una base. Insomma, scegliendone 3 su 4 di vettori ho sempre una base.


sì il procedimento è sostanzialmente corretto. Nota che la 5° colonna di zeri è superflua. Cosa intendi con "Essendo v4 una variabile libera"? Sì [math] sono una base e anche [math] ma anche [math].

osserva che avresti potuto anche lavorare con i vettori per riga ed in questo caso avresti potuto utilizzare come base anche anche i vettori della matrice ridotta (sai dire perché?)

FedeB ha scritto:Il punto due, dim(W)=3 poiché rng(W)=3.


sì ok

FedeB ha scritto:Il problema è il punto 3, che non so se ho fatto bene o male. In questo tipo di esercizi solitamente da quel che ho capito è cercare di ridurre l'ultima riga a tutti 0 nella matrice dei coefficienti (ovviamente se non ho rango max, giusto?) impostando anche dei coefficienti, cioè:


il procedimento è giusto (non ho controllato i calcoli), ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.
GIMUSI

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Re: Da sistema di generatori a coordinate cartesiani

#3 Messaggioda FedeB » martedì 20 marzo 2018, 21:34

GIMUSI ha scritto: ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.


Piu o meno so che devo ottenere una dipendenza lineare, però non so perché e come potrei magari passare dalla cartesiana alla forma vettoriale..

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Re: Da sistema di generatori a coordinate cartesiani

#4 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 21 marzo 2018, 13:04

FedeB ha scritto:
GIMUSI ha scritto: ti è chiaro il procedimento è perché risolvere questo sistema funzioni.


Piu o meno so che devo ottenere una dipendenza lineare, però non so perché e come potrei magari passare dalla cartesiana alla forma vettoriale..


Per semplicità in [math], un punto (x,y,z) appartiene al sottospazio se (e solo se) il sistema (incognite a,b,c)

[math]

ha soluzione.

Se consideriamo la matrice estesa associata al sistema, qual è la condizione perché il sistema abbia soluzioni?

La risposta è proprio l'algoritmo che hai utilizzato.
GIMUSI


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