Antitraslazione

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
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keine_ahnung
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Antitraslazione

#1 Messaggioda keine_ahnung » sabato 23 giugno 2018, 15:24

Ciao a tutti, avrei bisogno di un piccolo chiarimento sulla classificazione delle isometrie del piano, ed in particolare sull’antitraslazione (lezione 53 - 2014/2015). Nel caso in cui il rango della matrice sia 1 il prof. Gobbino conclude dicendo che siccome il vettore b non appartiene all’immagine dell’applicazione lineare associata alla matrice allora risulta essere parallelo alla retta di simmetria. Sarà sicuramente una stupidaggine, ma mi sfugge proprio questo passaggio: come si fa a concludere che il vettore b è parallelo alla retta di simmetria dal semplice fatto che b non appartiene all’immagine? Grazie

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Re: Antitraslazione

#2 Messaggioda keine_ahnung » domenica 24 giugno 2018, 10:58

Nessuna anima pia mi può dare una mano? Provo a chiarire meglio il mio dubbio.
La classificazione delle isometrie in [math] si basa sulla ricerca dei punti fissi, quindi sulla ricerca dei vettori [math] tali che:
[math],
che può essere riscritto come:
[math].
Il mio dubbio riguarda il caso in cui non ci siano punti fissi, cioè il caso in cui i ranghi delle matrici [math] e [math] non coincidano. Il caso in cui [math] ha rango [math] è chiaro, quello che non mi torna è il caso in cui il rango è [math]. Il fatto che il sistema non abbia soluzioni implica che il vettore [math] non appartiene all’immagine di [math]. Ciò che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che allora il vettore [math] è parallelo alla retta di simmetria della matrice [math].

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Re: Antitraslazione

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 25 giugno 2018, 8:38

Sono io che l'ho spiegato malino :oops:. Se non lo fa nessuno, quando ho un attimo di tempo preciso meglio ...

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Re: Antitraslazione

#4 Messaggioda keine_ahnung » lunedì 25 giugno 2018, 11:21

Grazie mille!

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Re: Antitraslazione

#5 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 28 giugno 2018, 13:57

Il caso in discussione è quello in cui A è una simmetria rispetto ad una retta e l'affinità Ax+b non ha punti fissi. Come giustamente osservato, questo accade se il vettore -b non sta nell'immagine di A-Id.

Ora è abbastanza facile vedere che l'immagine di A-Id è la retta perpendicolare alla retta rispetto alla quale A fa la simmetria. Quindi la condizione per non avere punti fissi è che -b, o equivalentemente b, non appartenga a tale retta ortogonale, o equivalentemente abbia componente non nulla rispetto alla direzione della retta rispetto alla quale si sta facendo la simmetria.

Da dove nasce la mia spiegazione sbagliata? Scriviamo b come somma di due vettori [math] e [math], il primo ortogonale ed il secondo parallelo alla direzione della retta di simmetria. L'affinità si scrive quindi come

[math]

dove A rappresenta la simmetria rispetto ad una retta passante per l'origine.

Qual è l'effetto di [math] e [math]? L'effetto di [math] è quello di traslare perpendicolarmente a se stessa la retta rispetto alla quale stiamo facendo la simmetria (che quindi non passa più per l'origine quando questo vettore non è nullo). L'effetto di [math] a quel punto è di traslare tutto parallelamente alla retta di simmetria, quindi se [math] addio punti fissi.

In questo senso si può dire che quando A-id non è la matrice nulla e non ci sono punti fissi, allora abbiamo fatto una simmetria rispetto ad una qualche retta (anche non passante per l'origine) e poi traslato parallelamente alla retta stessa.

Volendo fare un esempio numerico, pensiamo alla trasformazione

[math]

La matrice rappresenta la simmetria rispetto all'asse x. Il vettore [math] sarebbe (0,4) e il suo effetto è quello di rendere la simmetria rispetto alla retta [math] (traslazione della retta di simmetria originaria). Infine il vettore (3,0) trasla tutto parallelamente alla retta di simmetria, distruggendo i punti fissi.

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Re: Antitraslazione

#6 Messaggioda keine_ahnung » venerdì 29 giugno 2018, 20:58

Gentilissimo! Finalmente ho capito.


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