Inverse di matrici

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
maimoneg
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 37
Iscritto il: mercoledì 16 agosto 2017, 9:03

Inverse di matrici

#1 Messaggioda maimoneg » lunedì 26 agosto 2019, 19:26

All'attenzione del Chiar.mo Prof Gobbino

1) In uno spazio nxn sia data la matrice A non ortogonale.
Visto che la sua trasposta ha lo stesso determinante, cosa si può dire teoricamente
delle inverse relativamente ad A ed alla sua trasposta?

2) Visto che il determinante di una matrice A, essendo dato dalla somma dei prodotti di elementi
che non stanno nè sulla stessa riga e nè sulla stessa colonna, o se vogliamo è quella funzione che
rispetti le proprietà Det1...Det4, cosa si può dire sempre teoricamente (dico una cavolata)
del determinante sviluppato, nel senso di un Laplace allargato, però rispetto agli elementi di una diagonale?

Come sempre in attesa di un chiarimento
Voglia gradire
Cordiali Saluti.
Giuseppe Maimone

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2205
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Inverse di matrici

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 27 agosto 2019, 19:42

maimoneg ha scritto:1) In uno spazio nxn sia data la matrice A non ortogonale.
Visto che la sua trasposta ha lo stesso determinante, cosa si può dire teoricamente


Questo è un facile esercizio: l'inversa della trasposta è la trasposta dell'inversa. Come si dimostra?

maimoneg ha scritto:2) Visto che il determinante di una matrice A, essendo dato dalla somma dei prodotti di elementi
che non stanno nè sulla stessa riga e nè sulla stessa colonna, o se vogliamo è quella funzione che
rispetti le proprietà Det1...Det4, cosa si può dire sempre teoricamente (dico una cavolata)
del determinante sviluppato, nel senso di un Laplace allargato, però rispetto agli elementi di una diagonale?


Così di primo acchito mi pare che venga un pasticcio. Provare per credere nei casi 2*2 e 3*3.

maimoneg
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 37
Iscritto il: mercoledì 16 agosto 2017, 9:03

Re: Inverse di matrici

#3 Messaggioda maimoneg » mercoledì 28 agosto 2019, 15:43

Gent.mo Prof Gobbino
Ha fatto bene a farmela trovare da me, così non la dimentico più.

Lo si può dimostrare così:

AxA^(-1) = I

adesso faccio la trasposta di tutto.

[AxA^(-1)]^T = I = [A^(-1)]^TxA^T

Ciò vuol dire che, (dovendo ottenere sempre la matrice identica), il secondo membro satà costituito da:

A^T per la sua inversa.

ma lì c'è scritto: [A^(-1)]^T

e allora vuol dire che questa è proprio l'inversa. Quindi:

[A^(-1)]^T = [A^T]^(-1)

ossia che la trasposta dell'inversa è uguale all'inversa della trasposta e viceversa. c.d.d.

Un saluto cordiale
G. Maimone


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti