Simulazione scritto d'esame 2

Sistemi lineari, vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari
Messaggio
Autore
Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2191
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Simulazione scritto d'esame 2

#1 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 17 novembre 2013, 18:13

Ecco il nuovo scritto settimanale. Se però non li fa nessuno, è inutile che io li produca :? fino a quando non serviranno veramente :mrgreen:
Allegati
Simulazione2.pdf
Simulazione scritto d'esame 2
(37.16 KiB) Scaricato 476 volte

DaroB94
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 20:33

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#2 Messaggioda DaroB94 » domenica 8 dicembre 2013, 15:04

Ho provato a fare il primo esercizio, mi torna

a) Area = 11

b) P = ( 40/23, 51/23, 56/23 )

c) il punto P di intersezione ( -5/3, 0, -1) e l'angolo mi torna alfa = 125° ( 25/36 radianti)

Il secondo esercizio mi è tornata una matrice piena di frazioni molto brutta :(

Neomatrix092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 20
Iscritto il: domenica 13 ottobre 2013, 17:16

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#3 Messaggioda Neomatrix092 » domenica 8 dicembre 2013, 17:40

Primo esercizio: tabula rasa. Te come hai fatto?

Secondo esercizio: verificare la somma diretta = R^4 vuol dire che V e W hanno dimensione 2. E' sufficiente dire che i due sottospazi sono definiti tramite due vincoli linearmente indipendenti e quindi hanno dimensione 2 (e quindi torna con il discorso somma diretta, cioè intersezione tra V e W vuota) ?
Poi come si fa a dimostrare l'unicità dell'applicazione lineare (l'avevo già fatta questa domanda ma non ho avuto una risposta chiara)?

Terzo esercizio: Work in progress xD

Quarto esercizio: il determinante della matrice incompleta è 3a-30. Per a=10 ho det nullo e quindi rango <=2. In altri casi il sistema è risolubile per ogni b reale.
Domanda: quando sostituisco a=10 e risolvo, vedo che z sparisce e trovo b=21. Che significa?

DaroB94
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 20:33

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#4 Messaggioda DaroB94 » domenica 8 dicembre 2013, 19:35

Nel primo ho usato il prodotto vettoriale, per dimostrare il secondo mi sono limitato a dimostrare che, data una base di V e una di W, il determinante della matrice 4x4 con dentro i vettori delle 2 basi ha determinante diverso da 0. Dimostrando che il determinante è diverso da 0 puoi dire che quei 4 vettori sono linearmente indipendenti, quindi sono una base e generano R^4.
Nella seconda parte del 2 occorre trovare la matrice A' = M A M^-1, dove A è la matrice dell'applicazione lineare che trasforma i coefficienti dei vettori dati (Il prof mi corregga se sto sbagliando il modo di dirlo!), ovvero

Per dimostrare che è unica basta dire che il determinante di A o A' è diverso da zero (altrimenti ce ne sarebbero infinite) ma dato che A è

-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3

Si vede in fretta che il determinante non è zero. Più complicato è trovare la matrice A' che trasforma le componenti della base canonica invece delle coefficienti dei vettori, dato che occorre fare l'inversa di una 4x4 (mi sono venute una marea di frazioni tra l'altro) e 2 prodotti tra matrici 4x4. Se vuoi poi te la scrivo.

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#5 Messaggioda GIMUSI » lunedì 9 dicembre 2013, 0:13

DaroB94 ha scritto:Ho provato a fare il primo esercizio, mi torna

a) Area = 11

b) P = ( 40/23, 51/23, 56/23 )

c) il punto P di intersezione ( -5/3, 0, -1) e l'angolo mi torna alfa = 125° ( 25/36 radianti)

Il secondo esercizio mi è tornata una matrice piena di frazioni molto brutta :(


per il primo esercizio mi vengono gli stessi risultati a parte i seguenti:

a) area = (1/2)*sqrt(362)

c) angolo = pi/2 - arccos (3/sqrt(46))

??? domani li ricontrollo
GIMUSI

Bertrand Russell
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 9
Iscritto il: mercoledì 2 ottobre 2013, 19:06

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#6 Messaggioda Bertrand Russell » lunedì 9 dicembre 2013, 12:34

Ragazzi qualcuno di voi ha fatto l'esercizio 3?
In particolare a me non è riuscito il punto b e c. Se a qualcuno è riuscito per favore se lo scrive mi fa un piacere e semmai poi si potrebbe discutere la soluzione!!!

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#7 Messaggioda GIMUSI » lunedì 9 dicembre 2013, 15:04

Bertrand Russell ha scritto:Ragazzi qualcuno di voi ha fatto l'esercizio 3?
In particolare a me non è riuscito il punto b e c. Se a qualcuno è riuscito per favore se lo scrive mi fa un piacere e semmai poi si potrebbe discutere la soluzione!!!


non ho capito perché parli di punti “b” e “c”, l’esercizio 3 ha solo i punti “a” e “b”?

per l‘esercizio 3 a me vengono questi risultati:

a1) la dimostrazione che sia un sottospazio è immediata: (A1+A2)B =0, (cA)B=c(AB)=0;

a2) le righe di B sono linearmente dipendenti con rango 2; risulta in particolare: R1+R3=2*R2; i vettori riga che rendono nullo il prodotto da sinistra v*B sono del tipo (a,-2a,a); quindi le matrici A sono tutte e sole le matrici che hanno per righe vettori del tipo (a,-2a,a); una base è ad esempio: A1 con (1,-2,1) come prima riga e (0,0,0) nelle altre, A2 con (1,-2,1) come seconda riga e (0,0,0) nelle altre, A3 con (1,-2,1) come terza riga e (0,0,0) nelle altre;

a3) la dimensione del sottospazio è 3 (per definzione = n° vettori di una base);

b) se si considera una matrice B di rango 1 allora esistono due “famiglie” di vettori riga v1 e v2 che rendono nullo il prodotto da sinistra v*B; quindi le matrici A sono tutte e sole le matrici che hanno per righe vettori del tipo v1 o v2; una base è ad esempio quella costituita dalle sei matrici Ai aventi:
- v1 come riga i-esima per i=1,2,3 e (0,0,0) nelle altre;
- v2 per riga i-esima per i=4,5,6 e (0,0,0) nelle altre;
e la dimensione del sottospazio è 6.
GIMUSI

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#8 Messaggioda Giorgio9092 » martedì 10 dicembre 2013, 10:02

Scusate ma per il punto b del primo esercizio come avete fatto?
Io ho preso la retta ortogonale ad AB e poi l ho fatta passare per C, alla fine ho intersecato AB con la rtta trovata e dovrebbe venire il punto giusto?
Solo che non trovo wuello che avete trovato voi,
Ho sbagliato il ragionamento o sono errori di calcolo?
Ciao grazie

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#9 Messaggioda GIMUSI » martedì 10 dicembre 2013, 10:46

Giorgio9092 ha scritto:Scusate ma per il punto b del primo esercizio come avete fatto?
Io ho preso la retta ortogonale ad AB e poi l ho fatta passare per C, alla fine ho intersecato AB con la rtta trovata e dovrebbe venire il punto giusto?
Solo che non trovo wuello che avete trovato voi,
Ho sbagliato il ragionamento o sono errori di calcolo?
Ciao grazie


il tuo procedimento mi pare corretto...forse c'è qualche errore nel risultato (tuo o nostro?)

io ne ho utilizzato un altro:

- ho scritto l'espressione parametrica del generico punto P appartenente alla retta AB: A +t (B-A)

- da questa ho derivato l'espressione parametrica del vettore CP= (P-C)

- ho imposto l'annullamento del prodotto scalare dei vettori CP e AB
GIMUSI

Giorgio9092
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 18
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 10:36

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#10 Messaggioda Giorgio9092 » martedì 10 dicembre 2013, 11:21

Provo anche con il tuo e vedo che mi viene fuori! Grazie!

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2191
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#11 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 11 dicembre 2013, 16:21

Suggerisco altri due metodi da provare.

1 - Intersecare la retta AB con il piano passante per C e perpendicolare ad AB.

2 - Scrivere, in funzione di t, la distanza (al quadrato, per levarsi la radice) tra C ed il punto generico A +t (B-A) della retta AB. Viene un polinomio di secondo grado in t. Non resta che trovare il valore di t per cui il polinomio assume il minimo, a cui corrisponderà il punto di minima distanza.

Chi esplicita i due conti?

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#12 Messaggioda GIMUSI » mercoledì 11 dicembre 2013, 18:30

Massimo Gobbino ha scritto:Suggerisco altri due metodi da provare.

1 - Intersecare la retta AB con il piano passante per C e perpendicolare ad AB.

Chi esplicita i due conti?


AB = (1,3,6)

i piani perpendicolari ad AB sono: x+3y+6z+d = 0

imponendo il passaggio per C si ottiene: d=-23

la retta AB ha equazione A+t(B-A) = (1+t,3t,-2+6t)

imponendo l'intersezione tra retta AB e piano si ottiene: t=17/23 e da qui il punto di intersezione (40/23,51/23,56/23)
GIMUSI

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#13 Messaggioda GIMUSI » giovedì 12 dicembre 2013, 9:49

Massimo Gobbino ha scritto:Suggerisco altri due metodi da provare.

2 - Scrivere, in funzione di t, la distanza (al quadrato, per levarsi la radice) tra C ed il punto generico A +t (B-A) della retta AB. Viene un polinomio di secondo grado in t. Non resta che trovare il valore di t per cui il polinomio assume il minimo, a cui corrisponderà il punto di minima distanza.

Chi esplicita i due conti?


il generico punto P appartenente ad AB è: (1+t,3t,-2+6t)

la distanza CP al quadrato è: d^2 = (2+t)^2 + (3t-2)^2 + (6t-5)^2

differenziando e azzerando: 2*(2+t) + 6*(3t-2) + 12*(6t-5) = 0 :arrow: 92t-68=0 :arrow: t = 17/23
GIMUSI

DaroB94
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 25
Iscritto il: sabato 7 dicembre 2013, 20:33

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#14 Messaggioda DaroB94 » giovedì 12 dicembre 2013, 10:16

per fare l'area nel primo punto io ho fatto

sapendo

AB=(1,3,6) AC=(-2,2,5)

Area = 1/2 * Det M

M:
i j k
1 3 6
-2 2 5

Area = 1/2 * ( -3i+17j+8k) = 1/2 (-3+17+8) = 11

Avatar utente
GIMUSI
Cultore della matematica di base
Cultore della matematica di base
Messaggi: 1104
Iscritto il: giovedì 28 aprile 2011, 0:30

Re: Simulazione scritto d'esame 2

#15 Messaggioda GIMUSI » giovedì 12 dicembre 2013, 10:29

DaroB94 ha scritto:per fare l'area nel primo punto io ho fatto

Area = 1/2 * ( -3i+17j+8k) = 1/2 (-3+17+8) = 11


l'area è il modulo del vettore "prodotto vettoriale" ( -3i+17j+8k) = sqrt(9+289+64) = sqrt(362)...non la somma delle componenti?!?!?

io l'ho calcolato con la formula 1/2*lato1*lato2*seno(angolo compreso)...e per verifica anche con erone
GIMUSI


Torna a “Algebra Lineare”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite