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Scritti anni 2012/2013

Inviato: sabato 28 dicembre 2013, 10:08
da ghisi
Questi sono alcuni degli scritti di Analisi II degli anni 2012 e 2013.


M12_CS.pdf
compiti 2012
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M13_CS.pdf
compiti 2013
(68.94 KiB) Scaricato 459 volte

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: domenica 1 giugno 2014, 22:32
da GIMUSI
allego lo svolgimento :?: del primo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: lunedì 2 giugno 2014, 23:22
da GIMUSI
allego lo svolgimento :?: del secondo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni all'esercizio 1 sulla base delle osservazioni della prof.ssa Ghisi

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: giovedì 5 giugno 2014, 10:05
da ghisi
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del primo compito 2012

[EDIT] nella rev01 ho apportato alcune correzioni al 3.b (discussione del caso divergente)


esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un \rho.

b) Non va bene: usi sostanzialmente che \frac{log(\rho)}{\rho} all'infinito è equivalente a \frac{1}{\rho}, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni \beta > 0 esiste C_\beta tale che \log(1+x) \leq C_\beta x^\beta e scegliere \beta in funzione del parametro \alpha. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: giovedì 5 giugno 2014, 10:13
da GIMUSI
ghisi ha scritto:...esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un \rho.

b) Non va bene: usi sostanzialmente che \frac{log(\rho)}{\rho} all'infinito è equivalente a \frac{1}{\rho}, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni \beta > 0 esiste C_\beta tale che \log(1+x) \leq C_\beta x^\beta e scegliere \beta in funzione del parametro \alpha. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.


gli integrali impropri parametrici sono davvero insidiosi...proverò a rifarlo secondo queste indicazioni...grazie :)

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: giovedì 5 giugno 2014, 10:19
da ghisi
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del secondo compito 2012



Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe \nabla \Phi e \nabla \Psi ha sempre rango 2 in D.

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: giovedì 5 giugno 2014, 23:45
da GIMUSI
ghisi ha scritto:
esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un \rho.

b) Non va bene: usi sostanzialmente che \frac{log(\rho)}{\rho} all'infinito è equivalente a \frac{1}{\rho}, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni \beta > 0 esiste C_\beta tale che \log(1+x) \leq C_\beta x^\beta e scegliere \beta in funzione del parametro \alpha. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.


per il punto a) ok

per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento :cry:

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: venerdì 6 giugno 2014, 0:30
da GIMUSI
ghisi ha scritto:
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del secondo compito 2012



Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe \nabla \Phi e \nabla \Psi ha sempre rango 2 in D.


ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...

mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato :?:

e se esistono punti singolari che succede?

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: venerdì 6 giugno 2014, 9:40
da ghisi
GIMUSI ha scritto:
ghisi ha scritto:
esercizio 3

a) dopo il primo passaggio ti sei perso un \rho.

b) Non va bene: usi sostanzialmente che \frac{log(\rho)}{\rho} all'infinito è equivalente a \frac{1}{\rho}, ma questo è falso dato che il logaritmo tende all'infinito. Quello che devi usare per la convergenza è che per ogni \beta > 0 esiste C_\beta tale che \log(1+x) \leq C_\beta x^\beta e scegliere \beta in funzione del parametro \alpha. Mentre per la divergenza basta usare che nel tuo dominio il logaritmo è più grande di una costante.


per il punto a) ok

per il punto b)...allego uno svolgimento alternativo....anche se non credo di aver afferrato del tutto il suo ragionamento :cry:



In effetti sul secondo punto, per la parte convergenza hai un po' barato, dovresti dimostrare che l'integrale che ottieni alla fine in una variabile converge :wink:

Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)

Fissiamo \alpha  > 1 allora esiste \beta > 0 tale che 2\alpha - 1 - \beta > 1. Inoltre

\displaystyle \frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }\leq c_\beta \frac{\rho^\beta}{\rho^{2\alpha-1}}

Quindi

\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }d\rho < + \infty.

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: venerdì 6 giugno 2014, 9:48
da ghisi
GIMUSI ha scritto:
ghisi ha scritto:
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del secondo compito 2012



Primo esercizio, secondo metodo (moltiplicatori):

innanzi tutto devi spiegare perchè esistono massimo e minimo, altrimenti il metodo non fornisce nulla. Poi devi verificare se ci sono punti singolari, cioè se la matrice che ha come righe \nabla \Phi e \nabla \Psi ha sempre rango 2 in D.


ho apportato la correzione...anche se ammetto che non ho del tutto chiaro il significato del "sistema 1"...

mi pare di aver capito che se il rango è 2 i gradienti dei vincoli sono linearmente indipendenti e quindi il sistema 2 ha significato :?:

e se esistono punti singolari che succede?


Sono gli stessi problemi che si hanno in 2 variabili con un solo moltiplicatore (cuspidi, rami...). Nel peggiore dei casi le due equazioni potrebbero addirittura essere uguali!

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: venerdì 6 giugno 2014, 10:34
da GIMUSI
ghisi ha scritto:Questa è una possibile dimostrazione (oppure si può fare usando i casi limite del confronto asintotico)

Fissiamo \alpha  > 1 allora esiste \beta > 0 tale che 2\alpha - 1 - \beta > 1. Inoltre

\displaystyle \frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }\leq c_\beta \frac{\rho^\beta}{\rho^{2\alpha-1}}

Quindi

\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{\log (1+\rho)}{\rho^{2\alpha-1} }d\rho < + \infty.


ecco il concetto mi era chiaro...il logaritmo è una gran schiappa che perde anche con il più debole polinomio...ma non sapevo come formalizzarlo...grazie :)

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: sabato 7 giugno 2014, 21:41
da GIMUSI
allego lo svolgimento :?: del terzo compito 2012

EDIT] la rev01 recepisce le numerose osservazioni e correzioni indicate dalla prof.ssa Ghisi

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: domenica 8 giugno 2014, 9:54
da ghisi
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del terzo compito 2012


Primo esercizio

punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.

(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)

Secondo esercizio

Punto b) Quei \pi al denominatore non mi tornano. L'integrale non è esattamente la coordinata del baricentro. Non devi dividere per l'area. La cosa più semplice è vederlo come un semplice integrale 2 dimensionale.

Terzo esercizio

Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare B').

Quarto esercizio

punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che sia s che t siano gli estremi. Potrebbe però a priori succedere \gamma(t) = \gamma(s) per s un punto interno all'intervallo e t un estremo. C'è un modo molto più semplice di quello che hai usato: dalla seconda equazione \pi(t-s) = t^2 - s^2 quindi se t\neq s deve essere t+s = \pi. A questo punto basta sostituire nella prima equazione.

punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno -.

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: domenica 8 giugno 2014, 20:48
da GIMUSI
ghisi ha scritto:
GIMUSI ha scritto:allego lo svolgimento :?: del terzo compito 2012


Primo esercizio

punto b) Non serve fare la matrice Hessiana: una volta che hai dimostrato che esiste il minimo è per forza nell' unico punto stazionario che hai trovato.

(N.B. si poteva fare tutto anche direttamente in 3 variabili con i moltiplicatori)


l'ho rifatto anche con i moltiplicatori e segnalando l'inutilità dello studio con l'hessiana

ghisi ha scritto:Secondo esercizio

Punto b) Quei \pi al denominatore non mi tornano. L'integrale non è esattamente la coordinata del baricentro. Non devi dividere per l'area. La cosa più semplice è vederlo come un semplice integrale 2 dimensionale.


mi son fatto prendere dal pericolosissimo entusiasmo creativo...in effetti l'integrale rappresenta il baricentro moltiplicato l'area...in entrambi i casi ho utilizzato questa proprietà come verifica...spero finalmente in modo corretto

ghisi ha scritto:Terzo esercizio

Punto b) una volta che hai cambiato variabili il dominio non è piu' un cerchio quindi non puoi passare impunemente in coordinate polari (n.b. nel momento in cui scrivi le coordiante polari devi dire quale è il dominio in cui variano non puoi lasciare B').


ho corretto il passaggio incriminato minorando il nuovo dominio con un quarto di cerchio e poi passando alle coordinate polari

ghisi ha scritto:Quarto esercizio

punto a) Il modo di dimostrare la semplicità non è proprio corretto: escludi in partenza che sia s che t siano gli estremi. Potrebbe però a priori succedere \gamma(t) = \gamma(s) per s un punto interno all'intervallo e t un estremo. C'è un modo molto più semplice di quello che hai usato: dalla seconda equazione \pi(t-s) = t^2 - s^2 quindi se t\neq s deve essere t+s = \pi. A questo punto basta sostituire nella prima equazione.


con questo "hint" diventa un gioco da ragazzi...ma non era così facile da vedere :roll:

ghisi ha scritto:punto b) Perchè Stokes e non Gauss-Green? Ok sono la stessa cosa, ma visto che per l'area ci sono gia' le formule senza doversele ricavare tutte le volte... Per il resto: dovresti tener conto dell'orientazione fin dall'inzio e non fare tutto senza preoccupartene e poi alla fine cambiare segno. La prima ugualianza che hai scritto vale solo con le percorrenze nel senso corretto. Se vuoi farlo così devi prima specificare che è questo che stai facendo consapevolmente cioè stai facendo i conti sapendo che il segno alla fine sarà sbagliato, ma vuoi evitare di "portarti dietro" un segno -.


l'ho rifatto partendo da GG...del segno sbagliato in effetti me ne ero accorto fin dall'inizio e mi aspettavo un segno meno...ma non avevo pensato al fatto che l'uguglianza scritta fosse proprio sbagliata :roll:

un disastro insomma...sarei stato bocciato? :cry:

aggiorno il file in rev01 con tutte le correzioni segnalate :)

Re: Scritti anni 2012/2013

Inviato: lunedì 9 giugno 2014, 8:40
da ghisi
GIMUSI ha scritto:
un disastro insomma...sarei stato bocciato? :cry:




Adesso non esageriamo! Diciamo che non avresti preso 30, ma da qui a non passare l'esame...