funzioni integrali e sviluppi!

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Albert95
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funzioni integrali e sviluppi!

#1 Messaggioda Albert95 » sabato 4 aprile 2015, 16:23

È data la seguente funzione:

\displaystyle f(x)=2\int_{0}^{x}e^{t^5-t^6}\,dt-\int_{0}^{x^2}\sin(t^2)\,dt-2x

Volevo sapere se ho capito il procedimento, se è esatto e già che ci sono se è formale:
Sviluppando l'esponenziale si ottiene:

\displaystyle\int_{0}^{x}1+t^5-t^6\,dt

Sviluppando il seno invece si ha:

\displaystyle\int_{0}^{x^2}t^2-\frac{t^6}{6}\,dt

A questo punto integrando tutto ho:

\displaystyle
2x+2\frac{x^6}{6}-\frac{x^7}{7}+o(x^7)-\frac{x^6}{3}+o(x^7)-2x

Cioè

\dfrac{x^7}{7}+o(x^7)

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Re: funzioni integrali e sviluppi!

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 5 aprile 2015, 8:49

Brutalmente ci siamo, a parte (mi pare) un fattore 2 "missing in action".

Formalmente invece andrebbe spiegato tutto molto meglio. Ricordati sempre della vocina interna che chiede "perché?" ad ogni passaggio e prova a risponderle.

Intanto sposto in una sezione più appropriata, diciamo "calcolo integrale".

Albert95
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Re: funzioni integrali e sviluppi!

#3 Messaggioda Albert95 » mercoledì 8 aprile 2015, 14:34

Non mi vengono idee molto intelligenti, magari se trovo una minorazione e una maggiorazione degli argomenti delle funzioni posso dire che l'integrale è trattabile come ho fatto io?

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Re: funzioni integrali e sviluppi!

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 14 aprile 2015, 9:15

Non servono idee intelligenti, ma un uso standard di o piccolo.

\displaystyle\int_0^x e^{t^5-t^6}\,dt=\int_0^x [1+t^5-t^6+o(t^9)]\,dt=x+\dfrac{x^6}{6}-\dfrac{x^7}{7}+o(x^{10})

Cosa ho usato? La linearità dell'integrale ed il famoso lemmettino sulla primitiva di o piccolo.

Per il secondo serve pure la composizione. Pongo

G(x)=\displaystyle\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\int_0^x [t^2+o(t^5)]\,dt=\dfrac{x^3}{3}+o(x^6)

da cui per composizione

G(x^2)=\dfrac{x^6}{3}+o(x^{12})

Nulla di più sofisticato :wink:

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Re: funzioni integrali e sviluppi!

#5 Messaggioda Albert95 » martedì 14 aprile 2015, 17:55

ah perfetto, grazie mille, credevo mancasse molto di piu'


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