Limiti a infinito di funzioni integrali

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
Messaggio
Autore
Lambro
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: martedì 16 giugno 2015, 16:03

Limiti a infinito di funzioni integrali

#1 Messaggioda Lambro » martedì 16 giugno 2015, 17:29

Volevo sapere se è sempre possibile determinare il limite a + e - infinito di una funzione definita tramite integrale senza doverne necessariamente calcolarne l'integrale stesso.
Il dubbio viene dagli esercizi appositi di analisi 1 dove chiede il numero di asintoti orizzontali ma non di calcolarne l'ordinata (cosa che, purtroppo, diedi per scontata inizialmente :lol: )
Quindi chiedevo se esistono strumenti, come il confronto asintotico o degli integrali notevoli come quello gaussiano, che possano essere usati per trovare sempre la soluzione, e, dato che la cosa mi ha incuriosito, se ci saranno approfondimenti in materia negli anni successivi del corso

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 1967
Età: 50
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 20:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Limiti a infinito di funzioni integrali

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 17 giugno 2015, 18:53

Cerco di interpretare e riformulare la tua domanda :wink: Ti stai chiedendo, se ho capito bene, se esistono modi per calcolare un integrale improprio (ad esempio tra 0 e +infinito, o tra -infinito e +infinito), senza dover determinare esplicitamente una primitiva dell'integranda, cosa che di solito è impossibile in termini delle funzioni elementari.

Questo è possibile in alcuni casi speciali. Il prototipo è il caso della gaussiana: la primitiva di e^{-x^2} non si può esprimere in termini di funzioni elementari, ma l'integrale tra 0 e +infinito si determina lo stesso esplicitamente, ad esempio con un trucco di analisi 2 (che vedremo il prossimo anno), o anche con trucchi leggermente più complicati e basati sul prodotto di Wallis.

Ci sono poi intere classi di integrali impropri che si calcolano esplicitamente, senza fare la primitiva, con dei trucchi di analisi complessa (sostanzialmente il metodo dei residui, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_o ... ntegration) che volendo si possono anche vendere come trucchi di analisi due basati su Gauss-Green (magari qualche esempio si vedrà il prossimo anno). Anche in casi in cui la primitiva si saprebbe fare, a prezzo di calcoli estenuanti, questi metodi conducono al valore dell'integrale improprio con passaggi che in fondo si possono fare anche a mente.

Lambro
Nuovo utente
Nuovo utente
Messaggi: 2
Iscritto il: martedì 16 giugno 2015, 16:03

Re: Limiti a infinito di funzioni integrali

#3 Messaggioda Lambro » giovedì 18 giugno 2015, 16:33

La ringrazio della risposta, era esattamente ciò che stavo chiedendo.
Chiedo scusa per la confusione nella mia domanda, d'ora in poi cercherò di esprimermi meglio.


Torna a “Calcolo Integrale in una variabile”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Bing [Bot] e 2 ospiti