Disugualianze non chiare

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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g.spinelli
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Disugualianze non chiare

#1 Messaggioda g.spinelli » domenica 14 febbraio 2016, 22:13

Dimostra che non converge assolutamente

\int_{0}^{+\infty}{{\frac{x^{2}-x+1}{{(1+x^{7})}^{\frac{1}{3}}}e^{sin(x)}|cos(x)|dx}

la prima disuguaglianza che viene usata nella soluzione è questa che vale per ogni x maggiore di un certo x_{0}:

{\frac{x^{2}-x+1}{{(1+x^{7})}^{\frac{1}{3}}}e^{sin(x)}|cos(x)|\geq\frac{|cos(x)|}{x}

e questa credo di averla capita, la seconda invece che non ho capito come l'ha stabilita è questa:

\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}{\frac{|cos(x)|}{x}dx}\geq\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}{|cos(x)|dx}=\frac{2}{n}

L'integrale dunque diverge per confronto con la serie armonica. I passaggi logici sono ok. Ma la seconda disugualianza in particolare non ho capito perché vale e da dove è stata tirata fuori.
Grazie mille in anticipo.

Carmine
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Re: Disugualianze non chiare

#2 Messaggioda Carmine » lunedì 15 febbraio 2016, 0:27

La seconda disuguaglianza cosi com è scritta è falsa. Se però al posto di 1/n metti 1/(n \pi) l'obiettivo lo raggiungi lo stesso, e la disuguaglianza è banalmente vera :)

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Re: Disugualianze non chiare

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 15 febbraio 2016, 17:23

Sicuro di aver capito bene la prima? Prova a spiegarla per conferma.

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Re: Disugualianze non chiare

#4 Messaggioda g.spinelli » domenica 21 febbraio 2016, 17:31

Carmine ha scritto:La seconda disuguaglianza cosi com è scritta è falsa. Se però al posto di 1/n metti 1/(n \pi) l'obiettivo lo raggiungi lo stesso, e la disuguaglianza è banalmente vera :)


perché diventa banalmente vera?

Massimo Gobbino ha scritto:Sicuro di aver capito bene la prima? Prova a spiegarla per conferma.


Inizialmente potrebbe non essere vera, ma il polinomio, è definitivamente positivo, decrescente e asintoticamente equivalente a \frac{1}{ x^\frac{1}{3}} quindi se voglio qualcosa di più piccolo metto un denominatore più grande come \frac{1}{ x} (non troppo grande perché comunque voglio dimostrare che diverge e se mettessi x^2 non risolverei nulla) e poi e^sin(x) è comunque più grande di 1/e quindi sono tranquillo. Penso che sia vera per questi motivi...giusto?

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Re: Disugualianze non chiare

#5 Messaggioda Carmine » domenica 21 febbraio 2016, 18:27

Beh, guarda bene quanto può fare \frac{1}{x} nell'intervallo in cui stai integrando... :D

Comunque si, il motivo per la prima disuguaglianza è quello: e^{\sin(x)} \ge e^{-1} ovunque, e in più, per x \to \infty, il polinomio p(x) va come x^{-1/3}. Esiste dunque M>0 tale che, per x>M:

\displaystyle \frac{1}{x} \le e^{-1} p(x)

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Re: Disugualianze non chiare

#6 Messaggioda g.spinelli » domenica 21 febbraio 2016, 18:43

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma è proprio il passaggio algebrico che non mi è chiaro, graficamente ci sono. ma quali sono i passaggi algebrici che mi permettono di tirare fuori 1/(n\pi) dall'integrale e di rimanere con l'integrale da 0 a pi greco di |cos(x)| moltiplicato 1/(n\pi)?

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Re: Disugualianze non chiare

#7 Messaggioda Carmine » domenica 21 febbraio 2016, 19:01

Allora... siano, per ogni n \ge 1:

- g(x)=|\cos(x)|;
- f(x)=1/x;
- h_n(x)=1/(n\pi).

Tutte le funzioni citate fino ad ora sono non-negative in [0,+\infty[. Per x \in [(n-1)\pi,n\pi], si ha:

\displaystyle \frac{1}{n\pi} \le \frac{1}{x} ,

dunque per ogni n \ge 1:

f(x) g(x) \ge h_n(x)g(x)

nell'intervallo [(n-1)\pi,n\pi]. A questo punto integri e concludi.

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Re: Disugualianze non chiare

#8 Messaggioda g.spinelli » domenica 21 febbraio 2016, 22:34

Grazie mille!! Ora è tutto chiaro! Grazie davvero per la disponibilità e la chiarezza! :)


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