Studio funzione integrale

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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g.spinelli
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Studio funzione integrale

#1 Messaggioda g.spinelli » mercoledì 24 febbraio 2016, 23:04

Salve a tutti, di fronte ad una funzione integrale definita da (0,+\infty) in R

\displaystyle f(x) =\int_{x}^{2x}\frac{1}{1+t\log(t)}dt

come calcolo
1) limiti a 0 e infinito
2) max e min
3) monotonia
Essendo abituato ad una funzione con la "x" che compare solo in un estremo dell'integrale, come mi comporto in questo caso? Grazie :)

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho spostato nella sezione giusta.

Carmine
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Re: Studio funzione integrale

#2 Messaggioda Carmine » mercoledì 24 febbraio 2016, 23:25

Beh, puoi scrivere innanzitutto:

f(x)=g(2x)-g(x) ,

con:

\displaystyle g(y)=\int_0^y h(t) \ dt ,

ove h è quella funzione lì... A questo punto, quanto vale \frac{d}{dx}f(x)? Teorema fondamentale del Calcolo integrale, cosa dice? :)

Poi, il limite in 0 è facile... al limite a +\infty ci pensiamo dopo :)

PS: a scanso di equivoci, io approccerei così il problema, ma non ho fatto i conti. Quindi il mio approccio potrebbe essere inefficiente, prova :)

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Re: Studio funzione integrale

#3 Messaggioda g.spinelli » giovedì 25 febbraio 2016, 11:53

Ora provo, ma tu hai spezzato l'integrale in 0, hai scelto 0 a caso o si doveva scegliere per forza zero?

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Re: Studio funzione integrale

#4 Messaggioda Carmine » giovedì 25 febbraio 2016, 12:20

Boh, visto che l'esercizio chiede di calcolare il limite in 0 magari è utile spezzarlo usando 0...

g.spinelli
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Re: Studio funzione integrale

#5 Messaggioda g.spinelli » giovedì 25 febbraio 2016, 14:14

Carmine ha scritto:Boh, visto che l'esercizio chiede di calcolare il limite in 0 magari è utile spezzarlo usando 0...

Giusto! Comunque ho fatto i miei conti, magari se qualcuno può confermarmeli o smentirli xD dunque, limite a 0 fa 0, limite a infinito fa anche lui 0, poi non ha minimo (perché sarebbe 0 ma non ci arriva mai) ma ha punto di max che è \frac{1}{2log(2)} infatti la derivata prima mi viene \frac{1-2xlog(2)}{(1+2xlog(2x)(1+xlog(x))} ho studiato il denominatore e mi viene maggiore di zero e il numeratore mi da appunto \frac{1}{2log(2)} dunque la funzione è monotona crescente in (0,\frac{1}{2log(2)}) e decrescente altrimenti.

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Re: Studio funzione integrale

#6 Messaggioda Carmine » giovedì 25 febbraio 2016, 14:28

Beh,il limite in 0 è ovviamente 0 perchè l'integranda è limitata vicino a 0 (il limite dell'integranda per t tendente a 0 è 1, e ciò si verifica immediatamente).

Con facili conti si verifica poi che l'integranda è sempre positiva, dunque che f \ge 0 ovunque. In realtà, molto facilmente si dimostra che f>0 ovunque.

Per t tendente a +\infty, usando il teorema della media integrale si ha che (nel seguito, x_0 \in [x,2x]):

\displaystyle f(x)=(2x-x)h(x_0)=x \frac{1}{1+x_0 \log(x_0)} \le x \frac{1}{x_0 \log(x_0)} \le \frac{1}{\log(x_0)} ,

e visto che x_0 \ge x si ha che f(x) tende a 0 per x tendente a +\infty (insomma, l'ho scritta da cani, scrivila un po' meglio).

Per più motivi (tendenza a 0 a 0, o tendenza a 0 a +\infty), f non ammette minimo, e l'estremo inferiore è 0.

Infine, la derivata è:

d/dx f(x)=2h(2x)-h(x) ,

con h integranda: un banale studio di tale funzione (in linea teorica è banale, voglio dire ad Analisi 1 si imparano mille strumenti per affrontarlo, poi magari in questo caso non è così banale, non lo so) permette di identificare gli intervalli di monotonia e, credo, anche il massimo (in linea teorica di sicuro, in linea pratica spero sia calcolabile esplicitamente, se non lo è pazienza) :)

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Re: Studio funzione integrale

#7 Messaggioda g.spinelli » giovedì 25 febbraio 2016, 20:51

Grazie per la spiegazione che ha confermato i miei conti :) comunque chiedeva solo il punto di massimo non anche il valore massimo che assume f(x) quindi con un semplice studio della derivata ci si arrivava subito :) grazie ancora per i consigli!


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