Difficoltà integrale definito

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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g.spinelli
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Difficoltà integrale definito

#1 Messaggioda g.spinelli » venerdì 26 febbraio 2016, 23:57

Ciao ragazzi, qualcuno può aiutarmi con il calcolo di questo integrale?

\int_{0}^{\sqrt{2}} {x^{2}\sqrt{2-x^{2}}dx

ho provato per parti ma niente, allora ho pensato alla sostituzione \sqrt{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}+x)} = (\sqrt{2}-x)y
e riesco ad arrivare ad un integrale polinomiale senza radici ma al denominatore ho una molteplicità 7, che mi poterebbe a dover fare dei calcoli troppo esagerati secondo me per un banale esercizio, sono abbastanza sicuro che infondo ai calcoli ci si arrivi e funzioni, ma credo sia una via tortuosa e sono abbastanza sicuro che ce ne sia un'altra, qualcuno che la scorge? xD

Carmine
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Re: Difficoltà integrale definito

#2 Messaggioda Carmine » sabato 27 febbraio 2016, 0:07

Beh, quella radice dovrebbe farti accendere la lampadina della sostituzione goniometrica :D

Facciamo che inizio io, te lo sistemo un po', e poi concludi tu. Dunque, poniamo x=\sqrt{2}y. Si ottiene allora il seguente integrale:

\displaystyle \int_0^1 2y^2\sqrt{2-2y^2} \sqrt{2} \ dy
\displaystyle 4 \int_0^1 y^2\sqrt{1-y^2} \ dy

E ora che sostituzione puoi fare per concludere? Ricorda la relazione fondamentale della goniometria... dai ora è facile :)

g.spinelli
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Re: Difficoltà integrale definito

#3 Messaggioda g.spinelli » sabato 27 febbraio 2016, 10:55

che scemo è vero! pongo ad esempio y = sin(t) dunque dy = cos(t) dt ora l'integrale diventa
4\int_{}{}{sin^{2}(t)cos^{2}(t) a questo punto sin^{2}(t)=1-cos^{2}(t) e da li vado avanti...giusto?

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Re: Difficoltà integrale definito

#4 Messaggioda Carmine » sabato 27 febbraio 2016, 11:28

Eeeeeesatto :-)


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