integrali improprio

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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db89
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integrali improprio

#1 Messaggioda db89 » venerdì 30 gennaio 2009, 12:24

l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?

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#2 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 30 gennaio 2009, 17:47

Per la convergenza basta confrontare con e^{-x}, per calcolare il valore non resta che fare la primitiva per sostituzione.

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Re: integrali improprio

#3 Messaggioda Noisemaker » lunedì 3 settembre 2012, 12:06

db89 ha scritto:l'integrale improprio tra 1 e +00 di (e^x)/((e^2x)-2 in dx come si risolve?


\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}

anzitutto si osseva che la funzione integranda risulta definita per ogni \displaystyle x\not=\frac{\ln2}{2}<1 e positiva per \displaystyle x>\frac{\ln2}{2} e negativa per \displaystyle x<\frac{\ln2}{2}, quindi si ha singolarità solo a +\infty, essendo appunto \displaystyle \frac{\ln2}{2}<1 e quindi fuori dall' intervallo di integrazione; inoltre in [1,+\infty) la funzione integranda risulta positiva e si puo quindi considerare il comportamento asintotico:

-x\to +\infty

\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}-2}\sim \frac{e^x}{e^{2x} }= \frac{1}{e^{ x} }\toconverge

se poi si vuole valutare il valore dell'area, si ha che posto:

\displaystyle e^x=t\to x=\ln t \to dx=\frac{1}{t} dt, l'integrale diviene:

\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-2}\to  \int\frac{t}{t^{2 }-2}\cdot \frac{1}{t} dt=\int\frac{dt}{t^{2 }-2}\displaystyle=\int\frac{dt}{(t -\sqrt2)(t+\sqrt2)}\displaystyle=\int\frac{A}{t -\sqrt2}dt+\int\frac{B}{t+\sqrt2} dt=A\ln|t-\sqrt2|+B\ln|t+\sqrt2|

\displaystyle=A\ln|e^x-\sqrt2|+B\ln|e^x+\sqrt2| \displaystyle= \frac{1}{2\sqrt2}}\ln|e^x-\sqrt2|- \frac{1}{2\sqrt2}\ln|e^x+\sqrt2| \displaystyle=\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|

dove:\displaystyle A=\frac{1}{2\sqrt2}\quad B=-\frac{1}{2\sqrt2}

Allora

\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}=\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty} =\displaystyle 0-\Big(\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\Big)\sim 0.4

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Re: integrali improprio

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 11 settembre 2012, 11:23

Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.

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Re: integrali improprio

#5 Messaggioda Noisemaker » giovedì 13 settembre 2012, 12:02

Massimo Gobbino ha scritto:Ad essere formali non bisogna "sostituire +infinito", ma fare il limite come nella definizione di integrale improprio.


si effettivamente è giusto, ho scritto direttamente il risultato del limite ....

\displaystyle \Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\Big|\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big|\Big]_{1}^{+\infty}= \displaystyle\Big[\frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^x-\sqrt2}{e^x+\sqrt2}\Big]_{1}^{+\infty}= \displaystyle \left(\lim_{k \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e^k-\sqrt2}{e^k+\sqrt2}\right) - \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}= \displaystyle0- \frac{1}{2\sqrt2}\ln\frac{e-\sqrt2}{e+\sqrt2}\sim 0.4


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