integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

Marck

itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.

Noisemaker

Marck ha scritto:itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}$

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.

Anzitutto osserviamo che

$\displaystyle f(-x)= \frac{-x-\sin(- x)}{(-x)^3}= -\frac{-x+\sin x}{ x ^3}= \frac{x-\sin x}{ x ^3}=f(x)$

la funzione è dunque pari, quindi conviene limitare lo studio dell'integrale all'intervallo $(0,+\infty),$ cioè:

$\displaystyle 2\int_{0}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}$

La funzione integranda non è definita in x=0

in quanto si annulla il denominatore; tuttavia, si osserva che

$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\bf(T)}{=}\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{x-x+\frac{x^3}{3!}}{x^3}=\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{x^3}{3! x^3}=\frac{1}{6}$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to+\infty}\frac {1}{x }-\frac{\sin x}{x}= 0-0=0$

la funzione integranda è prolungabile per continuita in x=0:

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}, & \mbox{se }x\not=0 \\ \displaystyle \frac{1}{6}, & \mbox{se }x=0 \end{cases}$

e dunque risulta continua in x=0;

inoltre, in $[0,+\infty)$ la funzione risulta sempre positiva in quanto

$\displaystyle\frac{x-\sin x}{x^3} >0 \quad \to \quad x-\sin x>0\quad \to \quad$ $\displaystyle \sin x<x \quad \to \quad \forall x\in\mathbb{R^+}$

allora possiamo considerare il comportamento asintotico quando $x\to +\infty$ (in zero non è necessario in quanto la funzione è continua e dunque certamente integrabile)

$\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}\le\frac{x-1}{x^3} \stackrel{\bf(+\infty)}{\sim}\frac{1}{x^2} \to\mbox {converge }$

L' integrale risulta quindi convergente.

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