integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Marck
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integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

#1 Messaggioda Marck » giovedì 18 febbraio 2010, 11:33

itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.

Noisemaker
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Re: integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

#2 Messaggioda Noisemaker » martedì 18 settembre 2012, 10:03

Marck ha scritto:itegr tra -oo e+oo di
(x-sin x)
----------
x^3

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}

....negli aiutini dice :
Mostrare che non ci sono problemi in 0.?????
All'infinito confronto asintotico...
[con x^3???? ]

in pratica chiedo che qualcuno lo risolva...Grazie.



Anzitutto osserviamo che

\displaystyle f(-x)=  \frac{-x-\sin(- x)}{(-x)^3}= -\frac{-x+\sin x}{ x ^3}= \frac{x-\sin x}{ x ^3}=f(x)

la funzione è dunque pari, quindi conviene limitare lo studio dell'integrale all'intervallo (0,+\infty), cioè:

\displaystyle 2\int_{0}^{+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3}

La funzione integranda non è definita in x=0 in quanto si annulla il denominatore; tuttavia, si osserva che

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\bf(T)}{=}\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{x-x+\frac{x^3}{3!}}{x^3}=\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{x^3}{3! x^3}=\frac{1}{6}

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to+\infty}\frac {1}{x }-\frac{\sin x}{x}= 0-0=0

la funzione integranda è prolungabile per continuita in x=0:

\displaystyle f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}, & \mbox{se }x\not=0  \\ \displaystyle \frac{1}{6}, & \mbox{se }x=0 
\end{cases}

e dunque risulta continua in x=0; inoltre, in [0,+\infty) la funzione risulta sempre positiva in quanto

\displaystyle\frac{x-\sin x}{x^3} >0 \quad \to \quad x-\sin x>0\quad \to \quad \displaystyle \sin x<x \quad \to \quad \forall x\in\mathbb{R^+}

allora possiamo considerare il comportamento asintotico quando x\to +\infty (in zero non è necessario in quanto la funzione è continua e dunque certamente integrabile)

\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}\le\frac{x-1}{x^3} \stackrel{\bf(+\infty)}{\sim}\frac{1}{x^2} \to\mbox {converge }

L' integrale risulta quindi convergente.

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Re: integrale improprio dello scritto 2002_2 es n°3

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 22 settembre 2012, 17:13

Ok :D


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