Non tutti gli integrali riescono col buco

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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BlackTazz
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Non tutti gli integrali riescono col buco

#1 Messaggioda BlackTazz » sabato 2 giugno 2012, 12:45

Ciao a tutti, sono uno studente di Ingegneria Informatica dell'università di Trieste. Mi sto preparando all'esame di analisi anche grazie al materiale online messo a disposizione del prof. Gobbino che ringrazio molto per lo splendido lavoro che ha fatto e sta facendo. :)

Ma veniamo al mio problema ... nella lezione num. 78 dell'anno 2010/2011 (link --> http://users.dma.unipi.it/~gobbino/Tabl ... 1_L078.pdf) , precisamente nell'esempio 3, viene fatto l'integrale tra -1 e 1 di 1/(x^3).
Alla fine dell'esercizio viene mostrato che spezzando l'integrale e lasciando un "buco" di 3ε (quindi tendente a 0), l'integrale è -inf.
L'esercizio lasciato per casa è trovare un "modo di fare il buco" in modo che l'ampiezza tenda a 0 e l'integrale sia 2011.

Io non ci riesco, anzi, forse peggio, sbagliando sicuramente qualcosa nel mio ragionamento ho addirittura "dimostrato" il contrario :?
Qualcuno mi potrebbe aiutare a trovare la soluzione?

Ecco il mio ragionamento:

integrale da -1 a 1 di 1/(x^3) --> problema in 0 --> lo spezzo

lim per ε--> 0+ di (integrale da -1 a -kε di 1/(x^3) + integrale da wε a 1 di 1/(x^3)) , con w,k >0
sto lasciando un buco di wε - (-kε) = (w+k)ε che tende a 0 per ε-->0

Dopo un paio di passaggi trovo:

lim per ε-->0+ (-1/2 * 1/(k^2*ε^2) + 1/2 * 1/(w^2*ε^2))

raccogliendo 1/(2ε^2) ottengo infine:

lim per ε-->0+ di 1/(2ε^2) * (1/w^2 - 1/k^2) che sarebbe:

infinito * (1/w^2 - 1/k^2), che può dare +inf o -inf in base a chi è il maggiore tra w e k ... ma non so come fargli fare 2011 ^^

Grazie a tutti anticipatamente per le risposte e in bocca al lupo per gli imminenti esami :)
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Massimo Gobbino
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Re: Non tutti gli integrali riescono col buco

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 4 giugno 2012, 20:22

Non ci sono solo kε e wε a questo mondo ... quindi bisognerà usare espressioni più complicate dipendenti da ε ...

BlackTazz
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#3 Messaggioda BlackTazz » martedì 5 giugno 2012, 9:32

Ho letto la sua risposta sta mattina, ed effettivamente mi ha dato un grande aiuto ... non esistono solo k*ε e w*ε a questo mondo, ma ormai ero entrato nel tunnel kε e wε, e non avevo neanche pensato ad altre strade.

Ora credo di avere trovato la risposta, ma potrei anche sbagliarmi, e vorrei una sua conferma.

Ecco il mio ragionamento:

Immagine

In pratica, vedo che l'integrale ha un problema in 0, decido di spezzarlo, e di scegliere come estremi un k e un w, con ε al pedice, poichè voglio indicare che dipendono da una variabile ε. Alla fine mi troverò a studiare un limite come mostrato nell'ultimo passaggio. Se quel limite fa 2011 e il "buco" w-k, tende a 0, allora ho risolto (spero).

Per testare questa speranza ho preso l'argomento dell'ultimo limite, l'ho posto uguale a 2011 e ho ricavato k_ε in funzione di w_ε.
Ho ottenuto questo:

Immagine

Se pongo w_ε uguale proprio ad ε, per ε tendente a 0 il numeratore di k_ε tende a 0, e il denominatore ad 1, quindi il tutto tende a 0.
Quindi k_ε tende a 0, w_ε pure, il "buco" tende a 0.

Sostituendo, il limite viene 2011 per forza, dato che ho scelto k e w che soddisfino questa condizione.

Forse come soluzione è un po' barbara, magari c'erano modi più eleganti per risolverla, ma credo sia una soluzione corretta :)
Attendo un suo responso per averne la certezza, grazie anticipatamente ^^

Ciao,
Francesco
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#4 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 6 giugno 2012, 0:08

BlackTazz ha scritto:Attendo un suo responso per averne la certezza
:D :lol: :wink:


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