Integrale improprio : Verifica

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Noisemaker
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Integrale improprio : Verifica

#1 Messaggioda Noisemaker » venerdì 10 agosto 2012, 20:06

Si discuta la convergenza dell'integrale improprio

\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}\,\,dx

La funzione integranda è definita \forall x>0,x\not=1,infatti:

\begin{cases} 
x^{ \alpha }\not=0 &\to\forall x\not=0,x>0 \\ 
\sqrt{\left|\ln x\right|}\not=0 &\to \left|\ln x\right|\not=0\to x\not=1 \\ 
\left|\ln x\right|>0 &\to\forall x\in\mathbb{R},  x >0  \\
\end{cases}

ed è sempre positiva in [0; 1],

\begin{cases} 
\sin x^2-\sin^2x >0 &\to\forall x\in[0;1] \\ 
x^{ \alpha}>0 &\to\forall x\in[0;1]\\
\sqrt{\left|\ln x\right|}>0&\to\forall x\in\mathbb{R}
\end{cases}


possiamo quindi considerare il confronto asintotico:


x\to0^+


\displaystyle \frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}  \stackrel{\bf (T)}{\sim}\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}-\left( x -\frac{ x^3}{3!}\right) ^2 }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =\displaystyle\frac{ x^2-\frac{ x^6}{3!}-  x^2-\frac{ x^6}{36}+ \frac{ x^4}{3} }{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}}=\displaystyle\frac{ x^4}{ 3x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} =\frac{ 1}{ 3x^{ \alpha-4 } \left|\ln x\right|^{\frac{1}{2}} }

\text{converge se }\,\,\,\,\alpha-4<1\to\alpha<5


x\to1^-


\displaystyle\frac{\sin x^2-\sin^2x}{ x^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln x\right|}} \to\frac{\sin 1-(\sin1)^2}{ 1^{ \alpha }\sqrt{\left|\ln 1\right|}} =\displaystyle\frac{C}{0}= +\infty

\text{essendo \,\,\,$\sin x^2-\sin^2x>0$}


dunque si conclude che l'integrale non converge;

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Re: Integrale improprio : Verifica

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » sabato 11 agosto 2012, 9:16

Questo non va molto bene :?

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.

Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!

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Re: Integrale improprio : Verifica

#3 Messaggioda Noisemaker » lunedì 13 agosto 2012, 12:10

Massimo Gobbino ha scritto:Questo non va molto bene :?

Per quanto riguarda il problema a 0, la risposta è corretta, ma non si può ignorare impunemente il logaritmo come hai fatto tu.


non ho ignorato il logaritmo ... se \alpha>5 abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....


Massimo Gobbino ha scritto:Per quanto riguarda il problema in 1, è concettualmente sbagliato. Il fatto che quel limite venga +infinito dice semplicemente che l'integrale è improprio, non che diverge!!!


si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda; l'integrale diverge nell'intervallo (0,1)

poiche converge nel punto x=0 se \alpha>5 e diverge in 1 indipendentemente dal valore di \alpha quindi nell'intevallo di integrazione ""l'area"" sotto la curva in ogni caso risulta infinita, in quel senso intendevo l'integrale diverge...

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Re: Integrale improprio : Verifica

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 13 agosto 2012, 12:33

Noisemaker ha scritto:abbiamo una serie di Abel che converge indipendentemente dall'andamento del logaritmo....


Cos'è una serie di Abel? E cosa c'entra con la convergenza di un integrale improprio?


Noisemaker ha scritto:si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;


Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.


Noisemaker ha scritto: e diverge in 1 indipendentemente dal valore di \alpha


Questa è la parte di cui non ho capito il motivo.

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Re: Integrale improprio : Verifica

#5 Messaggioda Noisemaker » lunedì 13 agosto 2012, 12:47

Massimo Gobbino ha scritto:
Noisemaker ha scritto:si l'integrale è improrio in entrambi gli estremi di integrazione, non esistendo in tali punti la funzione integranda;


Questa è una frase che purtroppo si sente dire molte volte, ma non vuol dire nulla. Non è il fatto che una funzione non sia definita in un punto a rendere improprio un integrale.



...una funzione LIMITATA è integrabile (secondo Reimann) ma una funzione non limitata non è in generale integrabile, e quindi si parla di integrale generalizzato(improrio); una funzione f:(0;1)\to \mathbb{R} non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando x\to 1 la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per x\to 1 e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio

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Re: Integrale improprio : Verifica

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 13 agosto 2012, 14:19

Noisemaker ha scritto:una funzione f:(0;1)\to \mathbb{R} non è in generale limitata, ad esempio, nel nostro caso, quando x\to 1 la funzione risulta illimitata superiormete, in tal caso si valuta il limite per x\to 1 e se tale limite è finito allora la funzione è integraile (in senso improrio) nell' intervallo; se il limite è infinito la funzione non è dotata di integrale, nemeno in senso mprorio


:?: :?: :?: :!: :!: :!: :!: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :?: :?: :?:

Spero che questa definizione bizzarra sia un effetto del gran caldo!

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Re: Integrale improprio : Verifica

#7 Messaggioda Noisemaker » giovedì 16 agosto 2012, 10:27

...sarà il caldo ..


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