Integrali: esercizio teorico

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Noisemaker
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Integrali: esercizio teorico

#1 Messaggioda Noisemaker » mercoledì 22 agosto 2012, 13:51

Gentile Professore, ho un altro problema teorico ....


Sia f:[1;+\infty)\to \mathbb{R} una funzione tale che:

\displaystyle f(1) =1  \qquad f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)} (derivata prima [edit: ho corretto la notazione])

Provare che esiste finito il limite

\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x)

io ho fatto questo ragionamento qui:


La funzione f(x) è monotona crescente, in quanto la sua derivata prima è sempre maggiore di zero:

\displaystyle f^\prime(x) =\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0,\qquad \forall \,\, x\in \mathbb{R},;

e dunque, per x \to +\infty, ammetterà certamente limite, in particolare se la funzione risulta limitata allora questo limite sarà un numero reale, cioè sarà finito. Si tratta quindi di dimostrare che la funzione f(x) è limitata superiormente, cioè che esiste un numero M tale che:
|f (x)| <M, in particolare, essendo monotona crescente f (x)  <M.

Allora, preso ad arbitrio un generico punto y\in [1;+\infty) avremo, per la monotonia di f che:

\displaystyle f(y) >f(1) =1\quad \forall \,\, y>1,\,\,\,\, \text{da cui }\,\,\,\,\frac{1}{f(y)}<1

e dunque :

\displaystyle f^\prime(y) =\frac{1}{y^2+f^2(y)}<\frac{1}{y^2+1}

Essendo monotona, la funzione risulta Reimann integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di [1;+\infty), e dunque integrando ambo i membri , otteniamo:

\displaystyle \int _1^{x}f^\prime(y)\,\,dy =\int _1^{x}\frac{1}{y^2+f^2(y)}\,\,dy  <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy

\displaystyle \left[f (y)\right]_1^{x} <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy

\displaystyle f (x)- f (1) = f (x)- 1  <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy

evidentemete, detto un pò alla buona, l'area della funzione integranda dell'ultimo integrale sarà certamente minore dell area della stessa funzione, positiva, sull'intervalllo più grande [1;+\infty), e allora possiamo maggiorarla con:

\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{x}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy

e dunque:

\displaystyle f (x)- f (1) <\int _1^{+\infty}\frac{1}{y^2+1}\,\,dy\displaystyle= \lim_{k \to +\infty}\left[\arctan y\right]_1^{k}=\lim_{k \to +\infty} (\arctan k-\arctan 1)

\displaystyle f (x)-1 &<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}

\displaystyle f (x) &<1+\frac{\pi}{4}

Detto \displaystyle M=1+\frac{\pi}{4}, abbiamo che la funzione risulta superiormente limitata, e dunque essendo monotona crescente tederà al proprio estremo superiore che risuta essere finito; dunque

\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=L<1+\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}

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Re: Integrali: esercizio teorico

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » giovedì 23 agosto 2012, 9:52

Ottimo :D

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Re: Integrali: esercizio teorico

#3 Messaggioda Noisemaker » lunedì 3 settembre 2012, 10:31

almeno uno !!!!

.... sono questo tipo di esercizi che mi ""intrippano"" di più ... quelli in cui si fa "Analisi"... anche se ne imbrocco uno su 10^{37}!!! :lol: :lol: :lol:


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