integrale assurdo!

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Noisemaker
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integrale assurdo!

#1 Messaggioda Noisemaker » lunedì 17 settembre 2012, 10:52

Ho trovato questo integrale ""assurdo"" ... potrebbe essere corretto?


\displaystyle\int_{2}^{5}\,\, \frac{\cos\left(\frac{1}{x+2}\right)\ln\left[\sin^2\left(\frac{1}{x+2}\right)+4\right]}{\left(x+2 \right)^2\left[1+\sin\left(\frac{1}{x+2}\right)\right]^3 } \,\,dx

La funzione integarnda è definita per x\not=-2 , e dunque l'integrale nell'intervallo [2;5], non è improrio; calcolimao l'insieme delle primitive: posto

\displaystyle\frac{1}{x+2}=t, \to dx=-\frac{1}{t^2}\,\,dt


\displaystyle\int \frac{\cos\left(\frac{1}{x+2}\right)\ln\left(\sin^2\left(\frac{1}{x+2}\right)+4\right)}{\left(x+2 \right)^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{x+2}\right)\right)^3 } \,\,dx \displaystyle=-\int\frac{\cos t\ln\left(\sin^2t+4\right)}{\frac{1}{t^2}\left(1+\sin t\right) ^3 }\cdot\frac{1}{t^2}\,\,dt= \displaystyle-\int\frac{\ln\left(\sin^2t+4\right)}{ \left(1+\sin t\right) ^3 } \,\,d(\sin t)

posto \sin t=y

\displaystyle-\int\frac{\ln\left(y^2 +4\right)}{ \left(1+y\right) ^3 } \,\,dy, \quad \text{ed essendo}\quad \int\frac{1}{ \left(1+y\right) ^3 } \,\,dy= \displaystyle-\frac{1}{2(1+y)^2}\quad \text{si ha integrando per parti:}


\displaystyle=-\int \ln\left(y^2 +4\right) \,\,d\left(-\frac{1}{2(1+y)^2}\right)= \displaystyle\frac{1}{2} \int \ln\left(y^2 +4\right) \,\,d\left( \frac{1}{ (1+y)^2}\right) \stackrel{\bf(P)}{=} \displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{\ln\left(y^2 +4\right)}{ (1+y)^2} -\int \frac{1}{ (1+y)^2} \,\,d\left(\ln\left(y^2 +4\right)\right)\right)

\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{\ln\left(y^2 +4\right)}{ (1+y)^2} -\int \frac{2y}{(y^2 +4) (1+y)^2} \,\,dy\right)

\quad\mbox{considerando l ultimo integrale, si ha:}

\displaystyle\int \frac{2y}{(y^2 +4) (1+y)^2} \,\,dy= \int \frac{A}{   1+y } +  \frac{B}{ (1+y)^2}+\frac{Cy+D}{(y^2 +4) }  \,\,dy= \displaystyle A\ln|1+y|-  \frac{B}{   1+y }+\int \frac{Cy+D}{(y^2 +4) }  \,\,dy

\displaystyle\text{dove}\quad  A = \frac{6}{25},  B= -\frac{2}{5}, C= -\frac{6}{25}, D = \frac{16}{25},\quad   \text{e dunque:}

\displaystyle \frac{6}{25}\ln|1+y|+  \frac{ 2 }{   5(1+y)}-\int \frac{ \frac{6}{25}x-\frac{16}{25}}{(y^2 +4) }  \,\,dy= \displaystyle\frac{6}{25}\ln|1+y|+  \frac{ 2 }{   5(1+y)}-\frac{2}{25}\int \frac{ 3y-8}{(y^2 +4) }  \,\,dy

\text{considerando l ultimo integrale, si ha:}

\displaystyle\int \frac{ 3y-8}{(y^2 +4) }  \,\,dy= \displaystyle\int \frac{ 3y }{(y^2 +4) }  \,\,dy-\int \frac{8}{(y^2 +4) }  \,\,dy= \displaystyle\frac{3}{2}\int \frac{ 2y }{(y^2 +4) }  \,\,dy-8\int \frac{1}{4(\frac{y^2}{4} +1) }  \,\,dy

\displaystyle=\frac{3}{2}\ln |y^2 +4|-2\int \frac{1}{ \left(\frac{y}{2}\right)^2 +1  }  \,\,dy= \displaystyle\frac{3}{2}\ln |y^2 +4|-4\int \frac{\frac{1}{2}}{ \left(\frac{y}{2}\right)^2 +1  }  \,\,dy= \displaystyle\frac{3}{2}\ln |y^2 +4|-4\arctan\frac{y}{2}


\quad\mbox{  si ha:}

\displaystyle \frac{\ln\left(y^2 +4\right)}{ 2(1+y)^2} -  \frac{6}{50}\ln|1+y|- \displaystyle\frac{ 2 }{   10(1+y)}+\frac{2}{50}\left(\frac{3}{2}\ln |y^2 +4|-4\arctan\frac{y}{2}\right)

\quad \text{essendo} \sin t=y

\displaystyle \frac{\ln\left(\sin^2 t +4\right)}{ 2(1+\sin t)^2} -  \frac{6}{50}\ln|1+\sin t|- \displaystyle\frac{ 2 }{   10(1+\sin t)}+\frac{2}{50}\left(\frac{3}{2}\ln |\sin^2 t +4|-4\arctan\frac{\sin t}{2}\right)

\text{essendo per} \displaystyle x=2 \to  t=\frac{1}{4},\quad  x=5 \to  t=\frac{1}{7}

\displaystyle \frac{\ln\left(\sin^2 t +4\right)}{ 2(1+\sin t)^2} -  \frac{6}{50}\ln|1+\sin t|- \displaystyle\frac{ 2 }{   10(1+\sin t)}+\frac{2}{50}\left(\frac{3}{2}\ln |\sin^2 t +4|-4\arctan\frac{\sin t}{2}\right)\right|_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{7}}\sim 0.09

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Re: integrale assurdo!

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 23 settembre 2012, 8:45

Beh, alla fine non è poi così assurdo. I conti non li ho controllati (non sarebbe male che qualcuno lo facesse indipendentemente per vedere se viene uguale ...), ma i cambi di variabile sono quelli giusti.

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Re: integrale assurdo!

#3 Messaggioda Noisemaker » giovedì 27 settembre 2012, 22:14

Massimo Gobbino ha scritto:Beh, alla fine non è poi così assurdo. I conti non li ho controllati (non sarebbe male che qualcuno lo facesse indipendentemente per vedere se viene uguale ...), ma i cambi di variabile sono quelli giusti.


be però spaventa a vederselo davanti .... :lol: :lol:


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