Integrali parametrici

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Noisemaker
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Integrali parametrici

#1 Messaggioda Noisemaker » lunedì 17 settembre 2012, 12:15

1) Determinare i valori di \alpha\in \mathbb{R} per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio.

\displaystyle\int_{0}^{1}\,\,   \frac{1}{x(-\ln^{\alpha}x)+x^2(1-x^2)^{\frac{1}{3}}} \,\,dx

La funzione integranda è definita per x>0, x\not=1, e risulta positiva per ogni x>1; l'integrale presenta due singolarità nell'intervallo (0,1). Considerando il comportamento asintotico, si ha;

x\to0:

\displaystyle\frac{1}{x(-\ln^{\alpha}x)+x^2(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}\sim\displaystyle\frac{1}{x(-\ln^{\alpha}x)+x^2}=\frac{1}{x \ln^{\alpha} \frac{1}{x}  }\quad\mbox{essendo} \quad\displaystyle-\ln^{\alpha}x=\ln^{\alpha} 1-\ln^{\alpha}x= \ln^{\alpha} \frac{1}{x}

\displaystyle t\to+\infty: \frac{t}{ \ln^{\alpha}t }=\frac{1}{ t^{-1}\ln^{\alpha}t }\to \text{converge se}\,\,\,\alpha>1


x\to1^-:

\displaystyle \frac{1}{x(-\ln^{\alpha}x)+x^2(1-x^2)^{\frac{1}{3}}}\sim \displaystyle\frac{1}{ (-\ln^{\alpha}x)+ (1-x^2)^{\frac{1}{3}}}\sim\displaystyle \frac{1}{ [- (x-1)]^{\alpha}+ (1-x )^{\frac{1}{3}}(1+x )^{\frac{1}{3}}} \displaystyle =\frac{1}{(1-x)^{\alpha}+ (1-x )^{\frac{1}{3}} }

\displaystyle =\begin{cases} \frac{1}{(1-x )^{\frac{1}{3}}\left((1-x)^{\alpha-\frac{1}{3}}+ 1 \right)}\sim\frac{1}{(1-x )^{\frac{1}{3}} }, & \mbox{se }\alpha>\frac{1}{3} \to \text{converge}\\  \frac{1}{(1-x )^{\alpha}\left((1-x)^{\frac{1}{3}-\alpha }+ 1 \right)}\sim\frac{1}{(1-x )^{\alpha} }, & \mbox{se }\alpha<\frac{1}{3}\to \text{converge se}\,\,\,\alpha>1
\end{cases}

Si conclude quindi che l'integrale converge se \alpha>1

2) Determinare i valori di \beta\in \mathbb{R} per i quali risulta convergente il seguente integrale improprio:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,\,  \frac{e^{ \beta|x|}}{x^2+\beta x+1}  \,\,dx

Affinchè la funzione integranda abbia senso, deve essere diverso da zero il denominatore, e dunque:

\displaystyle x^2+\beta x+1\not=0   \to  \frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4}}{2}   \to \beta^2-4<0    \to  -2<\beta<2


dunque per i valori di -2<\beta<2, la funzione integranda risulta definita positiva in tutto \mathbb{R}; l'integrale presenta singolarità a \pm \infty, e dunqne considerando il comportamento asintotico, si ha:

x\to+\infty:

\displaystyle \frac{e^{ \beta|x|}}{x^2+\beta x+1}=\frac{e^{ \beta x }}{x^2+\beta x+1}\sim \displaystyle \frac{e^{ \beta x }}{x^2 }=\frac{1}{e^{ -\beta x }x^2 }\to \beta<0 \to \text{converge se}\,\,\,-2<\beta<0

x\to-\infty:

\displaystyle\frac{e^{ \beta|x|}}{x^2+\beta x+1}=\frac{e^{  \beta x }}{x^2+\beta x+1} \sim \displaystyle\frac{1}{e^{-\beta x } x^2 }\to \beta <0 \to \text{converge se}\,\,\,-2<\beta<0


Considerando il caso \beta=0, l'integrale diviene:

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,\,  \frac{1}{x^2+1} \,\,dx=2\int_{0}^{+\infty}\,\,  \frac{1}{x^2+1} \,\,dx< \displaystyle2\int_{0}^{+\infty}\,\,  \frac{1}{x^2} \,\,dx\to \text{converge}

Si conclude quindi che l'integrale converge per -2<\beta\le0

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