integrale improrio e valori assoluti

Calcolo di primitive e integrali definiti in una variabile. Studio della convergenza di integrali impropri.
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Noisemaker
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integrale improrio e valori assoluti

#1 Messaggioda Noisemaker » sabato 22 settembre 2012, 16:25

\mbox{Si discuta la convergenza dell^{\prime}}\mbox{integrale improprio}

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{ e^{-\sqrt[3]{|x|}}\arctan e^{x^2}\ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right)}{ \sqrt {|x|}\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right|}\right)\,\,dx

La funzione integranda è definita e positiva \forall x\not=0, infatti:


\displaystyle \begin{cases} 1+|x||\sin|x||^2>0&\forall x\in\mathbb{R} \\ \sqrt {|x|}\not=0 &x\not=0 \\ \arctan x^{\frac{1}{3}} \not=0 &x\not=0
\end{cases}\,\,\to\,\, x\not=0

\displaystyle\begin{cases}  e^{-\sqrt[3]{|x|}}>0&\forall x\in\mathbb{R} \\ \arctan e^{x^2}>0 &\forall x\in\mathbb{R} \\ \ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right)>0  &\forall x\in\mathbb{R}\\ \sqrt {|x|}>0&\forall x\in\mathbb{R}\\ 
\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right|>0&\forall x\in\mathbb{R}
\end{cases}


dunque la funzione ha come punto critico, oltre \pm\infty, anche il punto 0, Considerando il comportamento asintotico, si ha

x\to\pm\infty:,\,\,\,\mbox{ osservando che:}


\displaystyle e^{-\sqrt[3]{|x|}}  \stackrel{\pm\infty}{\longrightarrow} 0,\qquad

\displaystyle\arctan e^{x^2}  \stackrel{\pm\infty}{\longrightarrow} \frac{\pi}{2},

\displaystyle\ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right) \le\ln\left(1+  |x | \right) \stackrel{\pm\infty}{\longrightarrow}  \ln  |x |,

\displaystyle\sqrt {|x|} \stackrel{\pm\infty}{\longrightarrow} +\infty,

\displaystyle \left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right| \stackrel{\pm\infty}{\longrightarrow} \frac{\pi}{2}

allora:

\displaystyle\frac{ e^{-\sqrt[3]{|x|}}\arctan e^{x^2}\ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right)}{ \sqrt {|x|}\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right|} \displaystyle\le\frac{\frac{ \pi}{2} e^{-\sqrt[3]{|x|}} \ln |x | }{ \sqrt {|x|}\left|\frac{\pi}{2}\right|}= \displaystyle \frac{  \ln |x | }{e^{ \sqrt[3]{|x|}}}\cdot\frac{1}{ \sqrt {|x|} }= \displaystyle \frac{ 1}{e^{ \sqrt[3]{|x|}}\cdot  \ln^{-1} |x |\cdot|x|^{1/2} }\to \mbox{converge}

e dunque per x\to\pm\infty l'integrale dato converge.

x\to0: anche in questo caso possiamo usare il confronto asintotico: osservando che:

\displaystyle e^{-\sqrt[3]{|x|}}  \stackrel{0}{\longrightarrow} 1,

\displaystyle \arctan e^{x^2}  \stackrel{0}{\longrightarrow} \frac{\pi}{4},

\displaystyle \ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right) \sim \ln\left(1+  |x |^3\right) \sim   |x |^3

\displaystyle\sqrt {|x|} \stackrel{0}{\longrightarrow} 0,

\displaystyle\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right| \sim  \left| x^{\frac{1}{3}}\right|

allora:

\displaystyle\frac{ e^{-\sqrt[3]{|x|}}\arctan e^{x^2}\ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right)}{ \sqrt {|x|}\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right|}\sim\displaystyle\frac{\frac{ \pi}{4} \cdot1 \cdot |x |^3 }{ \sqrt {|x|}\left| x^{\frac{1}{3}}\right|}\sim \displaystyle\frac{  |x |^3 }{  \left| x^{\frac{1}{3}}\right|}= \displaystyle\frac{  1 }{  \left| x^{-\frac{8}{3}}\right|}\to \mbox {converge}

e dunque per x\to0l'integrale dato converge

Si conclude quindi che

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{ e^{-\sqrt[3]{|x|}}\arctan e^{x^2}\ln\left(1+|x||\sin|x||^2\right)}{ \sqrt {|x|}\left|\arctan x^{\frac{1}{3}}\right|}\right)\,\,dx \to \text{converge}

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