Scritti d'esame 2016

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Carmine
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Re: Scritti d'esame 2016

#16 Messaggioda Carmine » venerdì 26 febbraio 2016, 21:59

Pubblico la soluzione del terzo compito, ASSOLUTAMENTE DA PRENDERE CON LE PINZE NELL'ESERCIZIO 4. Ho fatto un delirio, ma non sapevo come farlo in maniera elementare. Consiglio vivamente di armarsi di carta e penna, se si vuole consultare la soluzione. Il 4 secondo me era tosto tosto...

Per il Prof: mi piacerebbe sapere se la mia soluzione non fa acqua da qualche parte, e se esiste una soluzione più semplice (rettifico: qual è una soluzione più semplice, perchè di sicuro esiste una soluzione più semplice del delirio che ho combinato).

Al solito, non fatevi problemi a commentare o chiedere chiarimenti.
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Massimo Gobbino
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Re: Scritti d'esame 2016

#17 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 29 giugno 2016, 18:49

Ho aggiunto lo scritto del quarto appello, con una piccola modifica rispetto alla versione originale per rendere il primo esercizio più vario.

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Re: Scritti d'esame 2016

#18 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 1 luglio 2016, 8:08

Già che ci sono, segnalo i due punti che hanno creato più problemi ai partecipanti al quarto scritto.

Nell'esercizio 1, saper gestire il fatto che il sistema corrispondente alle BC non avesse soluzione.

Nell'esercizio 2, trovare un funzionale che produca la NBC non omogenea u'(0)=555.

Nell'eserciziario ci sono vari esempi di richieste di questo tipo. Ad esempio, per la NBC non omogenea, ci sono almeno 3 possibilità:
  1. aggiungere termini del tipo +-555u' al funzionale (vedi fondo di pagina 34 dello stampato integrale),
  2. pensare u(x)=555x+v(x) e scrivere il problema risolto da v(x), che ora ha NBC omogenea,
  3. mimare il primo esercizio di "minimum problems 2".

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Re: Scritti d'esame 2016

#19 Messaggioda TizianoA » domenica 10 luglio 2016, 13:13

Provo a scrivere la soluzione del primo esercizio (nella versione modificata, cioè quella caricata online).

Punto a): Sia [math].
Se [math] è punto di minimo per il funzionale [math] allora per [math], posto [math], si deve avere [math]. Facendo i conti si ottiene
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Supponendo [math], derivo per parti ed ottengo
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v} -2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
cioè, siccome [math] è nulla al bordo,
$$ \big[ 2\ddot{u}\dot{v}\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.$$
(Fase I) considero le [math] tali che [math]. Applicando (una variante di) FLCV, ottengo [math].
(Fase II) Ma allora deve valere [math]. Per l'arbitrarietà di [math], questo vuol dire che [math].

Quindi [math] deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
\ddot{u}(0)=\ddot{u}(1)=0 \\
u(0)=u(1)=0
\end{cases}
$$

Si può verificare che il sistema ha un'unica soluzione, che si può anche calcolare esplicitamente con un po' di conti (è un polinomio di quarto grado...): sia [math] tale soluzione. Voglio mostrare che è l'unico punto di minimo.
Sia [math] qualsiasi e [math]; allora si ha
$$
F(w) = F(u_0+v) = F(u_0) + \underbrace{\int_0^1 \ddot{v}^2\,dx}_{\ge0} + \underbrace{\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx}_{=0}
\ge F(u_0)
$$
e vale l'uguaglianza se e solo se [math], ma [math] è nulla al bordo, quindi se e solo se [math]. Pertanto [math] è l'unico punto di minimo.


Punto b): il procedimento è il solito, quindi scrivo meno dettagli. Stavolta però [math] e [math] (cosicché [math]).
Dalla relazione
$$
\int_0^1 \big( 2\ddot{u}\ddot{v} -7x\dot{v} -10 v\big) dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
ottengo
$$
\big[-2u^{(3)}v - 7xv\big]_0^1 + \int_0^1 \big( 2u^{(4)}-3)v \,dx = 0,\quad \forall v\in V.
$$
Dalla "Fase I" ottengo sempre [math], mentre dalla "Fase II" ricavo [math] e [math].

In conclusione [math] deve soddisfare il sistema
$$
\begin{cases}
u^{(4)}=\frac{3}{2} \\
u^{(3)}(0) = 0 \\
u^{(3)}(1) = -\frac{7}{2} \\
\dot{u}(0)=\dot{u}(1)=0
\end{cases}
$$
Tale sistema non ha soluzione: la prima equazione dice che [math] è del tipo [math]; ma allora la seconda equazione implica [math] e dunque la terza diventa [math].

In effetti, in questo caso [math]. Lo si può vedere, ad esempio, considerando la successione [math]: si ha che [math] per ogni n, e [math]. [NOTA: tale successione andava bene anche al punto (a) dell'esercizio originale 8) ]


Spero di non aver fatto troppi errori :) . Ogni commento/suggerimento è ben accetto :D

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Re: Scritti d'esame 2016

#20 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 11 luglio 2016, 2:15

Grazie a TizianoA per aver postato il suo svolgimento, e soprattutto per averci fatto conoscere il fondamentale procedimento di derivazione per parti :lol: :lol: .

In effetti l'esercizio originale era venuto un po' banalotto 8) , ma a volte quelli più banali finiscono per risultare più ostici.

A questo punto mi viene una domanda, rispondere alla quale può essere istruttivo. Giustamente si è visto che nel punto (b) il minimo non esiste. Allora, se lo imposto con il metodo diretto, qualcosa deve andare storto ... Cosa?

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Re: Scritti d'esame 2016

#21 Messaggioda TizianoA » martedì 12 luglio 2016, 20:32

Se provo ad applicare il metodo diretto al punto b) mi blocco al livello della nozione di convergenza che garantisca la compattezza dei sottolivelli :(

Come formulazione debole considero lo spazio [math] di modo che le BC hanno ancora senso.
(Spero di non sbagliare già da qui :? )

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Re: Scritti d'esame 2016

#22 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 24 luglio 2016, 10:41

Ho postato il quinto scritto. Ricchi premi per chi individua la risposta giusta al (4b).

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Re: Scritti d'esame 2016

#23 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 7 settembre 2016, 14:32

Aggiunto il sesto scritto, privato di una domanda banale.

C_Paradise
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Re: Scritti d'esame 2016

#24 Messaggioda C_Paradise » martedì 21 febbraio 2017, 18:47

Massimo Gobbino ha scritto:Ho postato il quinto scritto. Ricchi premi per chi individua la risposta giusta al (4b).


Ci provo! Prima di tutto pongo [math] ottenendo

[math]

raccolgo un [math] e chiamo [math]

a questo punto vorrei tanto che [math] [math]convergesse a [math] se [math] quasi ovunque e [math] altrimenti.

Se così fosse [math] ma [math] infatti se [math] allora [math] è costante, ma [math] da cui [math] e [math]

Se quanto scritto è vero si avrebbe [math] da cui infinitesimo e parte principale :)

Non ho fatto i conti, ma forse è la strada giusta, non appena ho un po' di tempo faccio i conti per bene e verifico :?:

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Re: Scritti d'esame 2016

#25 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 21 febbraio 2017, 18:59

Mi sembrano ottimi ingredienti, ma un pizzico di equicoercività ci sta bene :wink: .


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