Minimum problems 3

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Minimum problems 3

#1 Messaggioda Carmine » sabato 23 gennaio 2016, 19:07

Salve,

nell'esercizio 6 il secondo punto che chiede? Di dimostrare che un eventuale minimo è necessariamente crescente?

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Massimo Gobbino
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Re: Minimum problems 3

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 24 gennaio 2016, 11:21

Carmine ha scritto:Di dimostrare che un eventuale minimo è necessariamente crescente?


Sostanzialmente sì. Detto meglio: di dimostrare che l'inf su tutte le funzioni è uguale all'inf su quelle (debolmente) crescenti. Perché questa osservazione è decisiva in quell'esercizio?

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Re: Minimum problems 3

#3 Messaggioda Carmine » domenica 24 gennaio 2016, 11:30

Per poter fare la radice senza modulo nell'ultimo punto :D

Gli esercizi 4 5 e 6 di questa sezione erano davvero interessanti. Grazie :)

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Re: Minimum problems 3

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 24 gennaio 2016, 11:54

Carmine ha scritto:Per poter fare la radice senza modulo nell'ultimo punto :D


Uhm, non solo. Prima di arrivare a fare la radice occorre l'esistenza.

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Re: Minimum problems 3

#5 Messaggioda Carmine » domenica 24 gennaio 2016, 12:14

Personalmente dall'Eulero differenziale più qualche mini osservazione ho dedotto che la funzione fosse non decrescente, dopodichè ho fatto la radice e ho esplicitato il minimo direzionale. Poi, per l'unicità, dato che un altro eventuale minimo globale doveva soddisfare l'equazione di Eulero e quindi essere non decrescente, ho dedotto l'unicità tramite una disuguaglianza... mi son perso qualcosa?

Edit: Eulero in forma Erdmann. E poi mi sono espresso male, non "un altro eventuale" ma "un eventuale".

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Re: Minimum problems 3

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 24 gennaio 2016, 12:26

Ma perché esiste il minimo?

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Re: Minimum problems 3

#7 Messaggioda Carmine » domenica 24 gennaio 2016, 12:53

Ok, ho capito la falla del mio ragionamento :) Ci penso...

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Re: Minimum problems 3

#8 Messaggioda Carmine » domenica 24 gennaio 2016, 12:59

Ok, ho apprezzato ora l'utilità del secondo punto (che si può fare troncando sopra 1 o sotto 0 e poi approssimando accuratamente, oppure "riempiendo le buche" e poi approssimando...).

L'utilità di quell'osservazione serve a limitare u dall'alto e dal basso, ergo a poter usare il metodo diretto. Ora va bene, la dimostrazione :) E in effetti, per dimostrare l'unicità, l'ipotesi di crescenza non serve.

EDIT: devo finire il passo di regolarità, non vorrei aver detto una sciocchezza.

EDIT^2: la regolarità non serve nemmeno. Una volta che so che il minimo esiste, uso la disuguaglianza di Jensen e concludo. Dovrebbe funzionare, ora...

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Re: Minimum problems 3

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 27 gennaio 2016, 16:34

Carmine ha scritto:EDIT^2: la regolarità non serve nemmeno. Una volta che so che il minimo esiste, uso la disuguaglianza di Jensen e concludo. Dovrebbe funzionare, ora...


Qui non ho capito più nulla :( :oops: .

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Re: Minimum problems 3

#10 Messaggioda Carmine » mercoledì 27 gennaio 2016, 17:45

Diciamo che la mia vena probabilistica mi suggerisce che la varianza di una variabile aleatoria è sempre positiva, ed è nulla se e solo se essa è costante.

Detto ciò, restringendoci alle funzioni crescenti, si ha che il "valore atteso" è fissato, e quindi non stiamo facendo altro che minimizzare il momento secondo, che è minimo per le costanti, appunto. Da qui si ha l'equazione di Eulero in forma di Erdmann :)

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Re: Minimum problems 3

#11 Messaggioda Carmine » mercoledì 27 gennaio 2016, 17:47

Detto altrimenti:

\displaystyle \int_0^1 \frac{\dot{v}^2}{(1+v^2)^2} \ dx \ge \left( \int_0^1 \frac{\dot{v}}{1+v^2} \ dx \right)^2

e il RHS è fissato perchè abbiamo gli estremi fissati. In più l'uguaglianza vale se l'integrando al LHS è costante, e da qui si ha l'equazione in forma di Erdmann.


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