Local minima 1

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Carmine
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Local minima 1

#1 Messaggioda Carmine » mercoledì 27 gennaio 2016, 15:18

Professore,

potrei chiedere un piccolo indizio sull'esercizio 3.b.? Pensavo di dimostrare che per \varepsilon piccolo abbastanza valgono le condizioni L^+ e J^+, ma non riesco a trovare un minimo direzionale. Ho provato anche considerando il funzionale:

\displaystyle G(u)=\int_0^1 \dot{u}^2 + u^2 \ dx

che ammette minimo globale facile da calcolare, ma scrivendo F(u_0+v)-F(u_0) non riesco a ottenere granchè.

I metodi di linearizzazione non mi sembrano utili in questo caso, in quanto per ogni \varepsilon non vi sono minimi forti, e in ogni caso l'eulero non mi sembra facilmente risolvibile.

Nemmeno i risultati di esistenza e unicità mi sembrano utili, in quanto l'Eulero diff. coi dati al bordo è un BVP, non un problema di Cauchy...

C'è qualcosa che sicuramente mi sfugge, visti i prerequisiti e la difficoltà (non esagerata) che è stata attribuita all'esercizio.

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Massimo Gobbino
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Re: Local minima 1

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 27 gennaio 2016, 15:56

Uhm, mi piacerebbe non essere sempre solo io a rispondere ... anche perché non sempre posso farlo velocemente.

In quel caso io farei così. Per epsilon piccolo la parte con la derivata è convessa in [-3000,3000]. Modifico fuori da quell'intervallo in modo che sia convessa ovunque e minimizzo: no problem via metodo diretto. Ora dico che il minimo di quel problema modificato è WLM per quello originario (usando come intorno quello che tiene la derivata tra -3000 e 3000). L'unica cosa che devo dimostrare è che la derivata del minimizer del problema ausiliario sta sempre tra -2999 e 2999 (quindi essere WLM per il problema ausiliario o originario è equivalente). Per questo ODEs che passione! La funzione sta tra 0 e 2 (questo direi che si dimostra per troncamento), quindi da Eulero la sua derivata ...

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Re: Local minima 1

#3 Messaggioda Carmine » mercoledì 27 gennaio 2016, 17:30

Provo a rendere preciso il discorso.

Allora, per \varepsilon>0 piccolo a sufficienza la funzione:

\phi(x)=x^2-\varepsilon x^4

presenta nei punti 100 e -100 una derivata seconda:

\phi_{pp}(100)=2-12\varepsilon 100^2 \ge \frac{1}{2}

Esiste allora una funzione \psi che coincide con \phi in [-100,100], e fuori da questo intervallo ha derivata seconda costante, pari a \phi_{pp}(100) (e che è ovviamente appartenente a C^2(\mathbb{R})). In particolare, per ogni x \in \mathbb{R} si ha \psi_{pp}(x) \in [\frac{1}{2},1], dunque \psi è strettamente convessa. Consideriamo allora il funzionale ausiliario:

G(u)=\int_0^1 \psi(\dot{u})+u^2 \ dx

Il metodo diretto, utilizzato in forma standard, garantisce l'esistenza è l'unicità di un punto di minimo globale u_0 (per la compattezza, basta notare che \psi sta sopra un opportuna parabola; la semicontinuità è standard; per la regolarità si usa la stretta monotonia e la regolarità di \psi_p).

La funzione u_0 risolve allora:

\psi_{pp}(\dot{u_0})\ddot{u_0}=2u_0

E' facile vedere, eventualmente usando degli opportuni troncamenti, che 0 \le u_0 \le 2 in [0,1]. Allora \ddot{u_0} \ge 0 ovunque in [0,1], e inoltre:

\ddot{u_0} \le \frac{4}{1/2}=8

In più, necessariamente \dot{u}(0) \in [0,2] (sicuramente \dot{u}(0) \ge 0, poi al più \dot{u}(0)=2, nel caso della retta, in quanto \dot{u} è crescente). Integrando si ottiene allora:

\dot{u}(t)-\dot{u}(0) \le \int_0^t 8 \ dt \le 8 \ \Rightarrow \dot{u}(t) \le 2+8=10 \ ,

da cui u_0 è WLM per il problema originario.


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