Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
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Sciabolight
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Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#1 Messaggioda Sciabolight » mercoledì 14 febbraio 2018, 18:15

Non riesco a risolvere il punto b dell'esercizio in questione. Infatti la lagrangiana considerata non è convessa in p e questo crea problemi quando si applica il metodo diretto e si vuole verificare la semicontinuità.
Inoltre, non ho idea di quale possa essere un riscalamento opportuno per le funzioni, dopo averle traslate in modo che i dati al bordo siano 0 (ammesso che sia una scelta sensata). Qualche idea? Esistono delle soluzioni pubblicate in rete dei compiti d'esame?

Crusp
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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#2 Messaggioda Crusp » mercoledì 14 febbraio 2018, 18:59

Ciao!

Per quanto riguarda la prima domanda mi sembra che basti osservare che la lagrangiana ha crescita sopraquadratica:

[math] tali che [math].

Da qui dovresti concludere la Sci!

L'altro punto non l'ho ancora visto ( e in realtà non sono ancora molto capace a fare gli esercizi di quel tipo).

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#3 Messaggioda Crusp » mercoledì 14 febbraio 2018, 19:12

Non vorrei dire una fesseria, ma credo non ci sia bisogno di riscalamento, in quel caso.

Mi sembra che il funzionale gamma converge in [math] al funzionale senza il termine con la [math]. Più tari provo a e verificarlo e in caso ti faccio sapere.


EDIT: Qui ho sicuramente detto una fesseria, ci penso più tardi!

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#4 Messaggioda Sciabolight » giovedì 15 febbraio 2018, 11:15

Non capisco come si faccia a concludere la SCI dall'ipotesi di crescita almeno quadratica. Usando la tua stima, si trova che [math] per A e B opportuni.
E poi?

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#5 Messaggioda Crusp » giovedì 15 febbraio 2018, 12:38

Mi sa che devo imparare a scrivere le cose per bene prima di parlare :oops:

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#6 Messaggioda Crusp » giovedì 15 febbraio 2018, 19:09

Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b).

Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [math] che rispetta le DBC [math]:

1) Si mostra che esiste [math] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [math] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [math] con [math] nulla al bordo, si calcola [math] e si mostra che [math] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [math] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [math] e quindi per ogni valore di [math] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [math] in [math] che soddisfa le DBC è tale che [math] allora [math] quasi ovunque e quindi [math] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [math]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo.

Per quanto riguarda il punto b:

Direi che per ogni [math] fissato l'inf del nostro problema è il minimo del funzionale [math] che ora introdurrò:

Chiamato [math] il funzionale - esteso a [math] al di fuori di [math] - si osserva che il suo rilassato è [math]( in [math] e [math] altrimenti) con [math]. ( In realtà dovrei ancora verificare questa affermazione: sicuramente in [math] è quello lì il rilassato perché la funzione [math] ha crescita sopra quadratica. Dovrei verificare però che la dimostrazione che abbiamo fatto in classe va bene pure se abbiamo le DBC).

Si ha quindi che inf[math] = inf[math]. Però in realtà per l'inf di [math] è in realtà un minimo in [math]:

- la compattezza dei sottolivelli la si vede sfruttando il fatto che anche il convessificato ha crescita sopra quadratica;

- la Sci è gratis questa volta perché il convessificato è convesso.

Dici che torna? Spero di non aver detto delle cavolate.

Se a questo punto riuscissimo a dire che il minimo [math] in [math] non può essere minimo per il funzionale [math] avremmo risposto alla domanda del punto b: l'inf non è un minimo.

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#7 Messaggioda Andrea_s » venerdì 16 febbraio 2018, 14:19

Crusp ha scritto:Mi sembra di aver trovato un'osservazione utile per la risoluzione del punto b).

Intanto provo a rispondere al punto a):

Innanzitutto si mostra che per ogni funzione [math] che rispetta le DBC [math]:

1) Si mostra che esiste [math] soluzione di Ele con quei dati al bordo e che il funzionale valutato in [math] è maggiore uguale a 0.

2) Si considera un competitore [math] con [math] nulla al bordo, si calcola [math] e si mostra che [math] sfruttando il fatto che 0 è minimo globale per [math] con v nulla al bordo.

Quindi si deduce che l'inf da noi cercato è sicuramente [math] e quindi per ogni valore di [math] l'inf appartiene ad R.

Inoltre da quanto detto sopra si osserva che se [math] in [math] che soddisfa le DBC è tale che [math] allora [math] quasi ovunque e quindi [math] è una costante e l'unica funzione costante che soddisfa le DBC è [math]. Quindi abbiamo che 0 non è sicuramente un minimo.

Per quanto riguarda il punto b:

Direi che per ogni [math] fissato l'inf del nostro problema è il minimo del funzionale [math] che ora introdurrò:

Chiamato [math] il funzionale - esteso a [math] al di fuori di [math] - si osserva che il suo rilassato è [math]( in [math] e [math] altrimenti) con [math]. ( In realtà dovrei ancora verificare questa affermazione: sicuramente in [math] è quello lì il rilassato perché la funzione [math] ha crescita sopra quadratica. Dovrei verificare però che la dimostrazione che abbiamo fatto in classe va bene pure se abbiamo le DBC).

Si ha quindi che inf[math] = inf[math]. Però in realtà per l'inf di [math] è in realtà un minimo in [math]:

- la compattezza dei sottolivelli la si vede sfruttando il fatto che anche il convessificato ha crescita sopra quadratica;

- la Sci è gratis questa volta perché il convessificato è convesso.

Dici che torna? Spero di non aver detto delle cavolate.

Se a questo punto riuscissimo a dire che il minimo [math] in [math] non può essere minimo per il funzionale [math] avremmo risposto alla domanda del punto b: l'inf non è un minimo.


buongiorno al forum,
in verità penso che sia [math], questo lo si può vedere ad esempio in due modi: o osservando che esiste sicuramente [math] ( infatti ricordo che in una delle lectures (mi pare la 28) sui quadratic functionals si dimostra che con DBC nulle agli estremi [math] per [math] e dal momento che il quadratic functional non è quello nullo, deve essere maggiore di 0 su qualche funzione [math] );
prendo allora [math] e un [math] per cui [math] , definisco allora [math] allora ho che [math] tende a [math], quindi [math] tenderà a [math].


Altrimenti, in modo più rapido, osservo che [math] ha lagrangiana del tipo [math] con [math] tendente a [math] per p che va a [math], prendo allora una [math] qualsiasi e su di essa costruisco una successione [math] continua e affine a pezzi, che converga uniformemente su [math] ma che lo faccia a "zigzag", ovvero che abbia derivata pari a [math] ovunque, allora [math] andrà a [math], e questo ci dice più in generale perché nei problemi di minimo si trova sempre [math] che va a + infinito agli estremi, altrimenti l'infimum sarebbe di sicuro [math] :) .

Per il punto (b) anch'io ho provato a percorrere la strada del convessificato, il mio problema è che non sono riuscito a mostrare che su [math] punto di minimo del convessificato siano uguali il funzionale convessificato e quello originale....e poi concludere tramite il trivial lemma... bhè se dovessi trovare una soluzione la posterò qui sotto sicuramente :)

EDIT dopo aver letto la risposta di crusp mi sono accorto che nella prima parte di quello che ho scritto ho sbagliato a definire le condizioni al bordo in modo consistente con l'esercizio.
Ultima modifica di Andrea_s il venerdì 16 febbraio 2018, 17:58, modificato 1 volta in totale.

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#8 Messaggioda Crusp » venerdì 16 febbraio 2018, 15:56

Grazie mille! Non riesco a capire come sia riuscito a scrivere così tante fesserie.

Per mostrare che che inf di [math] con DBC è [math] basta in effetti anche osservare che:

Prendo [math] nulla al bordo e negativa e tale che [math] è minore di 0.

Si osserva quindi che [math].

Se quindi consideriamo una famiglia di funzioni [math]=[math] osserviamo che esse rispettano le DBC e il funzionale tende a [math] (se valutato lungo esse) per [math] che tende ad infinito.

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 16 febbraio 2018, 20:40

Uhm, sono davvero stupito dalle difficoltà che sta creando questo esercizio :shock: :shock: , che si risolve in poche righe.

[+] Risposta_punto_a
L'inf è sempre reale.


[+] Aiutino_punto_a
La Lagrangiana è limitata dal basso per ogni valore del parametro.


[+] Risposta_punto_b
Il minimo non esiste mai.


[+] Aiutino_punto_b
Se per assurdo ci fosse un minimizer, la sua derivata si annullerebbe almeno in un punto (perché?), e in quel punto la condizione (L) fallirebbe miseramente.


[+] Aiutino_punto_c
Chi è il rilassato di quel funzionale? Qual è il minimo del problema rilassato?

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#10 Messaggioda Crusp » venerdì 16 febbraio 2018, 21:41

Grazie!

Rispondo intanto ai primi 2 punti:

a)

L'inf è sempre reale perché la lagrangiana è limitata dal basso dalla funzione [math] per un certo [math] R, >0.

b)

Se per assurdo ci fosse un punto di minimo [math] allora la sua derivata si annullerebbe in un certo [math] perché altrimenti la funzione sarebbe strettamente monotona e quindi non potrebbe avere DBC con lo stesso valore.

La condizione (L) fallirebbe perché a quel punto avremmo [math].

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#11 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 16 febbraio 2018, 22:21

Crusp ha scritto:la sua derivata si annullerebbe in un certo [math] perché altrimenti la funzione sarebbe strettamente monotona e quindi non potrebbe avere DBC con lo stesso valore.


Oppure perché il buon Rolle vuole i sui 15 minuti di notorietà :roll: .

Già che c'ero, ho sistemato un po' di typo nel post precedente :wink: .

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Re: Richiesta di hint per esercizio 4 - 24/02/17

#12 Messaggioda Crusp » sabato 17 febbraio 2018, 11:29

Per quanto riguarda il punto c:

EDIT: Ho cancellato la prima parte, pura farneticazione.

Risoluzione punto c) esercizio:

Sia Y= [math] u soddisfa le BC [math].

Sia [math] in [math].

Sia [math]. Si vuole mostrare che [math].

Per farlo basta osservare che:

min[math] (in [math]è ottenuto valutando [math] nella funzione identicamente nulla ed è uguale a [math].

Quindi:

[math] per ogni [math] e per ogni [math], quindi [math] liminf [math].

D'altra parte, considerando una famiglia di funzioni costruita in questo modo:

Si parte da 2017 con derivata [math] fino ad arrivare a 0, poi si fa un bel pezzetto lungo l'asse x e poi si risale con la stessa derivata in modo da essere per [math] in 2017. (E' chiaro che questo lo possiamo fare per [math] abbastanza piccolo).

Si ha che:

liminf [math] liminf [math] [math] limsup [math]

= limsup [math].

Quindi il leading term cercato è [math].


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