Dubbio nel calcolo del rilassato

Metodo indiretto, metodo diretto, rilassamento, Gamma convergenza
Messaggio
Autore
FApples97
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 21
Iscritto il: giovedì 21 settembre 2017, 23:25

Dubbio nel calcolo del rilassato

#1 Messaggioda FApples97 » sabato 1 settembre 2018, 18:24

Non capisco una cosa che si fa quasi sempre per calcolare il rilassato di un funzionale. Ad esempio nella lezione 21 del 2018 si deve calcolare il rilassato di [math]. Dato che [math] è continuo in norma [math], allora basta calcolare il rilassato di [math] ecc.. . La cosa che non capisco è: perchè il funzionale [math] è continuo ?
(è forse una cosa generale che se [math] converge ad [math] in norma [math] ed essendo f(x,s) continua, allora [math] converge a [math] ? )

Grazie mille.

C_Paradise
Affezionato frequentatore
Affezionato frequentatore
Messaggi: 73
Iscritto il: giovedì 23 ottobre 2014, 0:38

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#2 Messaggioda C_Paradise » sabato 1 settembre 2018, 22:44

Ciao! Il funzionale G(u) è continuo ad esempio perché è composizione di funzioni continue, in particolare è la norma (L2) al quadrato di una traslazione.. In uno spazio normato la norma è sempre una funzione continua per via della disuguaglianza triangolare

FApples97
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 21
Iscritto il: giovedì 21 settembre 2017, 23:25

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#3 Messaggioda FApples97 » domenica 2 settembre 2018, 5:16

Grazie mille, chiarissimo! E' vero o falso che "se [math] converge a [math] in norma [math] ed essendo [math] continua, allora

[math] " ?

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2191
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#4 Messaggioda Massimo Gobbino » domenica 2 settembre 2018, 9:40

FApples97 ha scritto:E' vero o falso che "se [math] converge a [math] in norma [math] ed essendo [math] continua, allora

[math] " ?


L'enunciato, come spesso accade, è falso ma non troppo.

Come è enunciato qui sopra è falso perché si possono costruire semplici controesempi in cui

[math] in [math] ma [math]

Tuttavia, l'enunciato diventa vero non appena uno aggiunge una qualche ipotesi di dominazione, ad esempio

[math]

per ogni valore ammissibile di x ed s.

A quel punto diventa vero con dimostrazione standard, basata sui soliti 3 punti, ai quali qui mi limito ad accennare (ma se servono più dettagli, basta chiedere).

  • Se una successione converge in L^2, allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque in maniera equi-dominata.
  • Dalla convergenza puntuale + equi-dominazione + ipotesi di dominazione della Lagrangiana segue la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale per quella sottosuccessione.
  • Dal lemma della sotto-sotto segue che si passa al limite su tutta la successione.

Vale la pena notare che, se invece della continuità, uno si accontentasse della semi-continuità inferiore, allora si potrebbe usare Fatou invece di Lebesgue, e questo richiede solo una dominazione dal basso, del tipo

[math]

Se uno poi avesse, per ragioni particolari, una stima sulla norma [math] delle derivate, allora basta davvero la continuità di [math] perché a quel punto sulle funzioni si ha pure la convergenza uniforme. Un caso tipico in cui questo serve è se uno volesse rilassare

[math]

Tutti i discorsi si generalizzano facilmente ad esponenti p generici.

FApples97
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 21
Iscritto il: giovedì 21 settembre 2017, 23:25

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#5 Messaggioda FApples97 » lunedì 3 settembre 2018, 2:40

Grazie mille davvero. Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto" (non l'ho capito neanche quando ho visto la video lezione)

Avatar utente
Massimo Gobbino
Amministratore del Sito
Amministratore del Sito
Messaggi: 2191
Età: 51
Iscritto il: lunedì 29 novembre 2004, 19:00
Località: Pisa
Contatta:

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 3 settembre 2018, 7:13

FApples97 ha scritto:Non ho capito quale lemma è il "lemma della sotto-sotto"


Prova a guardare la lezione 120 di AM1_17.

P.S. Ho corretto un typo nel mio post qui sopra. Nei facili controesempi si ha una successione di funzioni che tende a 0 in [math], ma l'integrale delle quarte potenze (e non delle funzioni stesse, come avevo scritto erroneamente) tende all'infinito.

FApples97
Utente in crescita
Utente in crescita
Messaggi: 21
Iscritto il: giovedì 21 settembre 2017, 23:25

Re: Dubbio nel calcolo del rilassato

#7 Messaggioda FApples97 » lunedì 3 settembre 2018, 16:37

Grazie mille.


Torna a “Calcolo delle Variazioni”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti