FApples97 ha scritto:E' vero o falso che "se [math]u_n converge a [math]u in norma [math]L^2 ed essendo [math]f:R^2\rightarrow R continua, allora
[math]\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} f(x,u_n(x))\, dx=\int_{a}^{b} f(x,u(x))\, dx " ?
L'enunciato, come spesso accade, è falso ma non troppo.
Come è enunciato qui sopra è falso perché si possono costruire semplici controesempi in cui
[math]f_n\to 0 in
[math]L^2((a,b)) ma
[math]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int_a^b [f_n(x)]^4\,dx=+\inftyTuttavia, l'enunciato diventa vero non appena uno aggiunge una qualche ipotesi di dominazione, ad esempio
[math]|f(x,s)|\leq As^2+Bper ogni valore ammissibile di x ed s.
A quel punto diventa vero con dimostrazione standard, basata sui soliti 3 punti, ai quali qui mi limito ad accennare (ma se servono più dettagli, basta chiedere).
- Se una successione converge in L^2, allora esiste una sottosuccessione che converge puntualmente quasi ovunque in maniera equi-dominata.
- Dalla convergenza puntuale + equi-dominazione + ipotesi di dominazione della Lagrangiana segue la possibilità di passare al limite sotto il segno di integrale per quella sottosuccessione.
- Dal lemma della sotto-sotto segue che si passa al limite su tutta la successione.
Vale la pena notare che, se invece della continuità, uno si accontentasse della semi-continuità inferiore, allora si potrebbe usare Fatou invece di Lebesgue, e questo richiede solo una dominazione dal basso, del tipo
[math]f(x,s)\geq -As^2+BSe uno poi avesse, per ragioni particolari, una stima sulla norma
[math]L^2 delle derivate, allora basta davvero la continuità di
[math]f(x,s) perché a quel punto sulle funzioni si ha pure la convergenza uniforme. Un caso tipico in cui questo serve è se uno volesse rilassare
[math]\displaystyle\int_a^b \left((\dot{u}^2-1)^{22}+u^{44}\right)\,dxTutti i discorsi si generalizzano facilmente ad esponenti p generici.