Simulazione scritto d'esame

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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tommy1996q
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Re: Simulazione scritto d'esame

#16 Messaggioda tommy1996q » venerdì 4 gennaio 2019, 18:41

Grazie! Quindi, vediamo se torna tutto:

[math]

Dove la prima sottosuccessione è infizzante e la seconda sottosuccessione converge quasi ovunque al limite in [math].
Per quanto riguarda la domanda che hai fatto tu, non basterebbe ricalcare la dimostrazione fatta per la composizione esterna richiedendo la limitatezza non solo della derivata prima, ma anche di quelle successive? A quel punto credo che potresti concludere per convergenza puntuale dominata, nello stesso modo in cui si conclude il teorema nel caso [math]

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Re: Simulazione scritto d'esame

#17 Messaggioda LucaMac » venerdì 4 gennaio 2019, 19:10

Sicuramente qui si crea un mio nuovo dubbio che è "Perché se ho convergenza il [math] a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di [math]?".
Solamente che nel caso di derivate doppie si vanno a creare dei quadrati, nello specifico, la derivata seconda rispetto ad [math] di [math] verrebbe [math]. Possiamo ancora dire che c'è dominazione? in questo caso però il [math] credo...

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Re: Simulazione scritto d'esame

#18 Messaggioda C_Paradise » venerdì 4 gennaio 2019, 19:14

Perché se ho convergenza in [math] a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di [math]?


Se non ricordo male segue dalla dimostrazione che esiste la sotto che converge quasi ovunque, comunque provo a ricordarmela e poi a postarla!

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Re: Simulazione scritto d'esame

#19 Messaggioda tommy1996q » venerdì 4 gennaio 2019, 19:18

Si, la dominazione segue dalla dimostrazione della convergenza quasi ovunque. Al problema dei quadrati non avevo pensato, in effetti...

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Re: Simulazione scritto d'esame

#20 Messaggioda LucaMac » venerdì 4 gennaio 2019, 19:22

C_Paradise ha scritto:
Perché se ho convergenza in [math] a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di [math]?


Se non ricordo male segue dalla dimostrazione che esiste la sotto che converge quasi ovunque, comunque provo a ricordarmela e poi a postarla!


Sono riusciuto a trovare una dimostrazione di questa cosa:
Prendo, a meno di sottosuccessione che non rinominerò, [math] che converge quasi ovunque e che dista in [math] al più [math] dal limite. Ora posso stimare [math] e questa è una dominazione per Beppo-Levi e Minkovski!
Ultima modifica di LucaMac il venerdì 4 gennaio 2019, 20:15, modificato 1 volta in totale.

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Re: Simulazione scritto d'esame

#21 Messaggioda tommy1996q » venerdì 4 gennaio 2019, 19:36

LucaMac ha scritto:Ora posso stimare [math] e questa è una dominazione!


Esattamente, è questa la dominazione che si usa. Il problema grosso, che non saprei davvero come affrontare, è quella derivata al quadrato.

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Re: Simulazione scritto d'esame

#22 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 4 gennaio 2019, 20:26

LucaMac ha scritto:Perché se ho convergenza il [math] a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di [math]?


:shock: :shock: :shock: Urka: ho usato decine di volte questo fatto durante il corso. La prima volta ricordo anche di aver chiesto se potevo darlo per buono da corsi precedenti, ed il coro di risposte affermative ottenuto mi aveva confortato :D. In ogni caso, come già osservato, la dominazione è un facile corollario del lemma di accelerazione che produce la sottosuccessione che converge puntualmente. Dovrebbe essere un risultato di base dei corsi che introducono gli spazi [math]. Comunque si trova, per esempio, come Teorema 4.9 sul Brezis.

Per quanto riguarda la regolarità, deve entrare nell'immaginario collettivo che è sempre una sofferenza, e che più si è in dimensione bassa e meglio è. Il teorema fatto a lezione sulla composizione g(u) è, in fondo, una fregatura, perché richiede g Lipschitz e quindi non si applica alle potenze.

Qui per fortuna siamo in dimensione abbastanza bassa e la g è una potenza. La domanda è quindi:

se [math] e l'insieme è limitato in [math], posso dedurre che [math] ?

Non mi sembra difficilissimo. Quali sono i termini che danno fastidio? Dove vorremmo che stessero?

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Re: Simulazione scritto d'esame

#23 Messaggioda C_Paradise » sabato 5 gennaio 2019, 11:27

I termini che danno fastidio dovrebbero essere [math] perché a priori stanno solo in [math], ma il fatto che [math] sia decente dovrebbe dirci ad esempio che [math]? Di conseguenza avremmo che [math] e dunque in [math] perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteniamo [math] dovrebbe essere tutto in discesa?

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Re: Simulazione scritto d'esame

#24 Messaggioda tommy1996q » sabato 5 gennaio 2019, 11:52

C_Paradise ha scritto:I termini che danno fastidio dovrebbero essere [math] perché a priori stanno solo in [math], ma il fatto che [math] sia decente dovrebbe dirci ad esempio che [math]?


Ok, questo per immersione, giusto? Però, perché siamo in [math]?
Ultima modifica di tommy1996q il sabato 5 gennaio 2019, 13:09, modificato 1 volta in totale.

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Re: Simulazione scritto d'esame

#25 Messaggioda LucaMac » sabato 5 gennaio 2019, 12:38

C_Paradise ha scritto:I termini che danno fastidio dovrebbero essere [math] perché a priori stanno solo in [math], ma il fatto che [math] sia decente dovrebbe dirci ad esempio che [math]? Di conseguenza avremmo che [math] e dunque in [math] perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteniamo [math] dovrebbe essere tutto in discesa?


Credo lo sia, dopo aver verificato che [math] e dunque, per un teorema di immersione, [math], così come la derivata seconda. Il resto dovrebbe farsi tutto in modo analogo.

Comunque sta in [math] perché la potenza giusta sta in [math] (e vale l'equazione).

Mi chiedo però come si fa a fare nel caso [math], che mi pare sia fatto in [math] nelle lezioni.

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Re: Simulazione scritto d'esame

#26 Messaggioda C_Paradise » sabato 5 gennaio 2019, 13:33

Il seno è Lipschitz :mrgreen:

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Re: Simulazione scritto d'esame

#27 Messaggioda tommy1996q » sabato 5 gennaio 2019, 13:43

LucaMac ha scritto:Credo lo sia, dopo aver verificato che [math] e dunque, per un teorema di immersione, [math], così come la derivata seconda. Il resto dovrebbe farsi tutto in modo analogo.

Comunque sta in [math] perché la potenza giusta sta in [math] (e vale l'equazione


Scusate ma mi sono perso un attimo. Quando si verifica che [math]? Non andrebbero viste le derivate fino all’ordine 4? E poi, in che senso “sta in [math] perché la potenza giusta sta in [math]”?

Cioè ok che [math] per immersione, ma poi come concludi che [math]?

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Re: Simulazione scritto d'esame

#28 Messaggioda C_Paradise » sabato 5 gennaio 2019, 15:05

Per prima cosa il fatto che il seno sia Lipschitz non mi sembra bastare per dire che se [math] allora anche [math]..

Per quanto riguarda il resto se chiamiamo [math] abbiamo per esempio che

[math].

Ora se sappiamo che [math] e che [math] allora anche [math] e questo insieme al conto analogo per le altre derivate dovrebbe bastare per riuscire a dire che [math] a questo punto usando l'equazione si ottiene [math], sempre che non ci siano errori in giro..

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Re: Simulazione scritto d'esame

#29 Messaggioda tommy1996q » sabato 5 gennaio 2019, 16:18

Che equazione intendi? La ELE?

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Re: Simulazione scritto d'esame

#30 Messaggioda C_Paradise » sabato 5 gennaio 2019, 17:29

Sì, pensavo alla versione iterata del teorema in alto a lezione 44.


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