Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.1

Spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, problemi variazionali, problemi di evoluzione
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s.rotundo1
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Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.1

#1 Messaggioda s.rotundo1 » lunedì 4 febbraio 2019, 15:35

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano [math] intero positivo, [math] chiuso. Consideriamo su [math] la norma euclidea.
a) Dimostrare che per ogni [math] esiste [math] t.c.[math] per ogni [math];
b) Dare un esempio in [math] nel quale il punto di minimo non è unico.

Vorrei capire se la mia soluzione va bene.
[+]
a)Esiste [math] tale che [math]. Osserviamo che [math] è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque [math] è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da [math] dei punti di [math] fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di [math], mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a [math], dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in [math]. Poiché [math] è compatto e la funzione [math] è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su [math]e quindi su [math].

b) Basta considerare come [math] il grafico della funzione valore assoluto in [math]. Prendendo [math] si ha che ci sono due punti (simmetrici rispetto all'asse [math]) che risolvono il problema di minima distanza. Tali punti corrispondono appunto alle proiezioni ortogonali di [math] sulle rette [math] e [math].

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Re: Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.1

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 5 febbraio 2019, 22:06

s.rotundo1 ha scritto:Vorrei capire se la mia soluzione va bene.

Mi sembra quasi impeccabile. A voler trovare il pelo nell'uovo, aggiungerei solo una parolina per giustificare che un tale r esiste.


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