Riporto il testo dell'esercizio.
Sia
[math]p\in(1,+\infty) un numero reale. Consideriamo
[math]\mathbb{R}^2 con la norma definita da
[math]||(x,y)||_p=(|x|^p+|y|^p)^{1/p} per ogni
[math](x,y)\in \mathbb{R}^2a) Verificare che questa sia una vera norma su
[math]\mathbb{R}^2;
b) Dimostrare che, per ogni
[math]K\subseteq \mathbb{R}^2 chiuso non vuoto e per ogni
[math]x_0\in \mathbb{R}^2 esiste
[math]z\in K che minimizzi la distanza da
[math]x_0;
c) Determinare se i punti di minimo sono unici nel caso
[math]K si convesso;
d) Discutere le richieste precedenti per la norma
[math]||(x,y)||_\infty.
Vorrei capire se la mia soluzione va bene.
- [+]
- a) La positività e l'essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità:
[math]||\lambda(x,y)||_p=||(\lambda x, \lambda y)||_p=(|\lambda x|^p+|\lambda y|^p)^{1/p}=
[math]=(|\lambda|^p(|x|^p+|y|^p))^{1/p}=|\lambda|(|x|^p+|y|^p)^{1/p}=|\lambda|||(x,y)||_p
Vediamo la subadditività:
Sia [math]p'=\frac{p}{p-1} l'esponente coniugato di [math]p.
[math]||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||^p_p=||(x_1+x_2,y_1+y_2)||^p_p=(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)=|x_1+x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1+y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le
[math]\le|x_1||x_1+x_2|^{p-1}+|x_2||x_1+x_2|^{p-1}+|y_1||y_1+y_2|^{p-1}+|y_2||y_1+y_2|^{p-1}\le
[math]\le(|x_1|^p+|y_1|^p)^{1/p}(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}+(|x_2|^p+|y_2|^p)^{1/p}(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}=
[math]=(|x_1+x_2|^p+|y_1+y_2|^p)^{(p-1)/p}(||(x_1,y_1)||_p+||(x_2,y_2)||_p)=||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||^{p-1}_p(||(x_1,y_1)||_p+||(x_2,y_2)||_p).
Le disuguaglianze usate sono la triangolare per il valore assoluto e la disuguaglianza di Holder poi. A questo punto dividendo per [math]||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_p^{p-1} si ha la tesi.
b)Esiste [math]r>0 tale che [math]C=\overline{B(x_0,r)}\cap K\neq \emptyset. Osserviamo che [math]C è limitato perché contenuto nella palla, e chiuso perché intersezione di chiusi. Dunque [math]C è compatto. Osserviamo inoltre che le distanze da [math]x_0 dei punti di [math]K fuori dalla palla devono essere per forza maggiori di [math]r, mentre quelle dei punti appartenenti alla palla sono minori o uguali a [math]r, dunque se esiste il minimo deve trovarsi nella palla e dunque in [math]C. Poiché [math]C è compatto e la funzione [math]y\mapsto||x_0−y||_p è continua, per il teorema di Weierstrass esiste il minimo su [math]Ce quindi su [math]K.
c) Per equivalenza delle norme, esiste una costante positiva $M$ tale che per ogni [math](x,y)\in \mathbb{R}^2 si abbia [math]||(x,y)||_p\le M||(x,y)||_2. Siano dunque [math]P,Q\in K due punti di minimo e sia [math]D tale minimo.
[math]||P-Q||_p\le M||P-Q||_2
Osserviamo che la quantità [math]\frac{P+Q}{2}\in K, poiché [math]K convesso.
Per l'identità del parallelogramma abbiamo:
[math]||P-Q||^2_2=||P-x_0+x_0-Q||^2_2=2||P-x_0||_2^2+2||Q-x_0||^2_2-||P+Q-2x_0||^2_2=
[math]=2||P-x_0||^2_2+2||Q-x_0||^2_2-4||\frac{P+Q}{2}-x_0||^2_2\le 2D^2+2D^2-4D^2=0
Dunque [math]||P-Q||_p\le M||P-Q||_2=0, per cui abbiamo unicità del punto di minimo.
d) Come prima, la positività e l'essere nulla solo per il vettore nullo sono ovvie.
Vediamo l'omogeneità:
[math]||\lambda (x,y)||_\infty=||(\lambda x,\lambda y)||_\infty=\max{(|\lambda x|, |\lambda y|)}
Senza perdere di generalità suppongo che il massimo sia [math]|\lambda x|. Allora è vero che [math]\max{(|x|,|y|)}=|x|.
Allora [math]||\lambda (x,y)||_\infty=|\lambda x|=|\lambda||x|=|\lambda||\max{(|x|,|y|)}=|\lambda|||(x,y)||_\infty.
Vediamo la subadditività:
[math]||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_\infty=||(x_1+x_2,y_1+y_2)||_\infty=\max{(|x_1+x_2|,|y_1+y_2|)}\le \max{(|x_1|+|x_2|,|y_1|+|y_2|)}
Supponiamo senza perdere di generalità che l'ultimo massimo sia dato da [math]|x_1|+|x_2|.
Allora [math]||(x_1,y_1)+(x_2,y_2)||_\infty\le |x_1|+|x_2| \le \max{(|x_1|,|y_1|)}+\max{(|x_2|,|y_2|)}=||(x_1,y_1)||_\infty+||(x_2,y_2)||_\infty.
Per gli altri punti si procede in maniera analoga a una norma [math]p generica.
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