Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

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tommy1996q
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Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#1 Messaggioda tommy1996q » martedì 5 febbraio 2019, 22:15

Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti [math] da uno spazio normato [math] a uno spazio metrico [math] completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa [math], allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni [math] esista un compatto [math] che disti meno di [math] da [math], dove con [math] si indica un insieme limitato di [math]. Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di [math], ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a [math] e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che [math] è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.

C_Paradise
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#2 Messaggioda C_Paradise » mercoledì 6 febbraio 2019, 1:16

Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di [math] è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche [math] è totalmente limitata..

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#3 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 6 febbraio 2019, 22:25

Anch'io non ho capito bene dove sta il problema. Infatti
tommy1996q ha scritto:Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni [math] esista un compatto [math] [...]

ma nella caratterizzazione basta in realtà totalmente limitato.

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#4 Messaggioda tommy1996q » giovedì 7 febbraio 2019, 9:56

Ecco, non avevo segnato che bastasse la totale limitatezza. Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a [math])

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#5 Messaggioda Albus23 » venerdì 8 febbraio 2019, 13:51

tommy1996q ha scritto: Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?


Riepilogo per futuri lettori: Nel teorema di relativa compattezza in spazi Lp non si è mostrato che la famiglia approssimante è compatta bensì solo relativamente compatta. In effetti nel teorema precedente si era detto che bastava la totale limitatezza.
Ma nel caso di un metrico COMPLETO è equivalente alla relativa compattezza.
La dimostrazione è facile usando i risultati per spazi metrici e il fatto che chiuso in completo è completo, l'unica cosa da osservare è quello che ha detto C_paradise, cioè che un insieme è totalmente limitato sse lo è la sua chiusura.

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#6 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 8 febbraio 2019, 14:01

tommy1996q ha scritto:in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a [math])

O pensare a (0,1) e basta :D :D.

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#7 Messaggioda tommy1996q » venerdì 8 febbraio 2019, 15:29

Massimo Gobbino ha scritto:
O pensare a (0,1) e basta :D :D.


In effetti :lol:

aleM
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#8 Messaggioda aleM » venerdì 10 maggio 2019, 13:06

In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni [math] sui sottospazi [math] sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?

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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#9 Messaggioda Massimo Gobbino » venerdì 10 maggio 2019, 14:18

aleM ha scritto:Icorretto?


Corretto.

Bonus question: quelle proiezioni convergono uniformemente sui compatti?

aleM
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Re: Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

#10 Messaggioda aleM » lunedì 13 maggio 2019, 13:46

Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo [math] operatore compatto e dimostravamo che le [math] lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limitato, [math] lo trasforma in un relativamente compatto, quindi tot. lim.

Nel caso delle sole [math], [math] è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite [math] è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che [math] uniformemente sui compatti.


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