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Domanda sulla costante di Poincarè degli intervalli

Inviato: lunedì 18 febbraio 2019, 21:15
da gino
Mi stavo chiedendo se la costande di Poincarè per gli intervalli è data semplicemente da [math].
Mi sembra che si possa dedurre direttamente dal fatto che [math] ed è "quadratica" sulla lunghezza dell'intervallo, infatti il riscalamento da [math] con [math] è iniettivo e suriettivo, inoltre [math] e [math]. Quindi se [math] allora [math]. Sbaglio qualcosa?

Re: Domanda sulla costante di Poincarè degli intervalli

Inviato: martedì 19 febbraio 2019, 9:11
da Massimo Gobbino
gino ha scritto:Mi stavo chiedendo se la costande di Poincarè per gli intervalli è data semplicemente da [math].

Certamente, e la cosa vale molto più in generale, e in particolare in tutte le dimensioni e per tutte le disuguaglianze alla Sobolev-Poincaré-Wirtinger "pure", cioè in cui ci sono ordini di derivazione "uniformi" al rhs ed al lhs (ad esempio solo funzione al lhs e solo derivate prime al rhs). In questo caso infatti sia il lhs sia il rhs scalano bene per omotetia, e di conseguenza le costanti in due aperti omotetici sono collegare da una potenza opportuna del fattore di riscalamento. Quando gli esponenti sono quelli "giusti" delle immersioni, la costante è pure invariante per omotetia, visto che lhs e rhs riscalano allo stesso modo.

Le cose sono diverse nel caso delle disuguaglianze "impure", come quelle in cui si controlla la norma [math] di una funzione in termini della full-norm in [math]. In questo caso, infatti, i diversi termini del rhs riscalano diversamente.

Re: Domanda sulla costante di Poincarè degli intervalli

Inviato: giovedì 21 febbraio 2019, 17:22
da gino
Giusto! grazie! :D