Limiti in 2 variabili su un dominio

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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Filippo.ingrasciotta
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Limiti in 2 variabili su un dominio

#1 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » martedì 14 gennaio 2014, 11:48

Ciao a tutti,
Volevo chiedere se mi potete fare un piccolo riassunto di limiti all'infinito in due variabili su un dato dominio D perché guardando anche sulle video lezioni non mi è sembrato di vedere limiti su un dominio specifico ma su tutto R^2 ( se dico male correggetemi!!)

Se può essere d'aiuto per la spiegazione metto anche un limite da calcolare su dei domini, così da poter usare come esempio:

Lim (x^2 +y^2 --> +oo) di (x+y)* arctan(y^2)
Da calcolare su
- R^2
- D1 {0<=y<=x}
- D2 { 0<=y<=1 e x>=0}
- D3 {x+y>=1}
- D4 { x^1/2 <=y<=x }
- D5 { x>=1 e 0<=y<=1/x}

Ho scritto tanti domini lo so però se riuscite a spiegarmi come si fa una volta capito il metodo sarà molto schematica la cosa.

Grazie a tutti in anticipo

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Massimo Gobbino
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Re: Limiti in 2 variabili su un dominio

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » martedì 14 gennaio 2014, 12:14

Trattandosi di limiti in 2 variabili, inizio a spostare nella sezione giusta.

Filippo.ingrasciotta
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Re: Limiti in 2 variabili su un dominio

#3 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » martedì 14 gennaio 2014, 17:26

Grazie, non mi ero accorto di aver sbagliato sezione :D

Spero in un intervento illuminante...

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Re: Limiti in 2 variabili su un dominio

#4 Messaggioda ghisi » martedì 14 gennaio 2014, 18:29

La differenza tra i limiti all'infinito su tutto lo spazio e quelli su domini e' che nel secondo caso hai delle restrizioni in piu': ad esempio per dimostrare che il limite non esiste devi considerare due curve su cui il limite e' diverso ma che stanno nel dominio. Vediamo il tuo limite con f(x,y) = (x+y)\arctan(y^2). Su R^2 il limite non esiste: basta considerare f(0,y), che per y\rightarrow +\infty va a +\infty, mentre per y\rightarrow -\infty va a -\infty. Nel caso del dominio D_1 ancora il limite non esiste ma le due curve di prima non stanno in D_1 per y molto grandi o molto negativi. Quindi devi cambiare curve. Se prendi f(x,x) questa tende a +\infty quando x\rightarrow +\infty, se consideri f(x,0) invece è costantemente nulla. Sul dominio D_4 invece il limite esiste ed è +\infty, infatti quando x^2+y^2\rightarrow+\infty in D_4 allora sia x che y tendono a +\infty. Nel dominio D_5 il limite esiste ed è 0. Quando infatti x^2+y^2\rightarrow+\infty in D_5 allora x\rightarrow +\infty mentre y\rightarrow 0 (non basta!), inoltre si ha
0\leq f(x,y) \leq (x+1)\displaystyle \frac{1}{x^2}.
In generale se vuoi dimostrare che un limite esiste in un dominio per prima cosa devi capire come è fatto il dominio (la prima domanda è chi può andare all'infinito in quel dominio) poi se ti servono delle stime queste devono essere valide nel dominio in questione (non in generale).

Filippo.ingrasciotta
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Re: Limiti in 2 variabili su un dominio

#5 Messaggioda Filippo.ingrasciotta » martedì 14 gennaio 2014, 19:50

Penso proprio di aver capito, grazie mille per la spiegazione.

Se nel fare esercizi tornerò in questo post a far domande :)


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