Scheda Esercizi numero 12

Calcolo differenziale, limiti, massimi e minimi, studio locale e globale per funzioni di più variabili
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Scheda Esercizi numero 12

#1 Messaggioda Nome_utente » mercoledì 12 febbraio 2014, 0:24

La funzione è:
x^2y^4z^6

Il dominio è:
x^2+y^2+z^2=1 (bordo di una sfera centrata nell'origine con raggio 1)

Viene richiesto il Sup e l'Inf e il NUMERO dei punti di max e min (assoluti).

Essendo il dominio costituito solo da un bordo passo direttamente alla ricerca di punti stazionari proprio su di esso, perciò il sistema con i moltiplicatori di Lagrange risulta essere:
2xy^4z^6=2x\lambda;
4x^2y^3z^6=2y\lambda;
6x^2y^4z^5=2z\lambda;
x^2+y^2+z^2=1

Ho trovato che il min è 0(che è anche Inf) dai seguenti punti: (0,0,1); (0,0,-1); (0,1,0);(0,-1,0); (1,0,0); (-1,0,0)
La soluzione però dice che i punti di min sono infiniti e che il Sup é 1/432 con 8 punti di max.
Non riesco a trovare le soluzioni mancanti, dovrebbero venire fuori dal sistema ma non riesco a trovarle.

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Massimo Gobbino
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Re: Scheda Esercizi numero 12

#2 Messaggioda Massimo Gobbino » mercoledì 12 febbraio 2014, 10:46

Il problema, come spesso accade, è di precorso, cioè nella risoluzione del sistema. :mrgreen: :mrgreen:

Ad esempio, se il minimo della funzione ti viene 0, come è giusto che sia, allora tutti i punti della sfera con (per esempio) z=0 saranno punti di minimo, per cui dovresti ritrovarli tra le soluzioni del sistema (dove infatti stanno).

Ripensa ai passaggi fatti nel risolvere il sistema e vedrai che c'è qualche semplificazione abusiva.

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Re: Scheda Esercizi numero 12

#3 Messaggioda Nome_utente » mercoledì 12 febbraio 2014, 16:28

Riguardando il sistema ci sono riuscito a trovare le soluzioni mancanti.
Con lambda = 0 le prime tre equazioni del sistema sono soddisfatte se almeno una variabile è nulla, da qui trovo gli infiniti punti di minimo.
Con lambda diverso da 0 (e x,y,z anch'essi diversi da 0) trovo che x=+-sqrt(1/6), y=+-sqrt(1/3), z=+-sqrt(1/2); che inseriti nella funzione mi danno il sup richiesto.

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Re: Scheda Esercizi numero 12

#4 Messaggioda ghisi » mercoledì 12 febbraio 2014, 18:49

Nome_utente ha scritto:Riguardando il sistema ci sono riuscito a trovare le soluzioni mancanti.
Con lambda = 0 le prime tre equazioni del sistema sono soddisfatte se almeno una variabile è nulla


Questo mi inquieta un po': sembra che tu abbia messo \lambda = 0 a caso. Spero di no. Un ragionamento forse un po' più convincente: dalla prima equazione x = 0 oppure \lambda = ... e così via.


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